Trong các bộ ba độ dài đoạn thẳng dưới đây, bộ ba nào là độ dài ba cạnh của một tam giác?

a) Gọi vận tốc của xe tải, xe khách và xe ô tô con lần lượt là: \(x,\,y,\,z\) \(\left( {{\rm{km/h}}} \right)\)\(\left( {x,\,y,\,z > 0} \right)\)

Vì trên cùng một quãng đường nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

\[4x = 3y = 2z \Rightarrow \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}\]

Lại có: vận tốc xe con lớn hơn xe khách \(20\,{\rm{km/h}}\), nên ta có: \[z - y = 20\]

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{{z - y}}{{6 - 4}} = \frac{{20}}{2} = 10\)

Do đó:

\[\frac{x}{3} = 10 \Rightarrow x = 10.3 = 30\]

\[\frac{y}{4} = 10 \Rightarrow y = 10.4 = 40\]

\[\frac{z}{6} = 10 \Rightarrow z = 10.6 = 60\]

Suy ra \[x = 30\,;\,\,y = 40\,;\,\,z = 60\] (TMĐK)

Vậy vận tốc của xe tải, xe khách và xe con lần lượt là \(30\,\,{\rm{km/h}}\,;\,\,40\,\,{\rm{km/h}}\,;\,\,{\rm{60}}\,\,{\rm{km/h}}{\rm{.}}\)

b) Quãng đường AB dài là: \(30.4 = 120\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

a) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\)có:

 (gt); \[AB = AC\] (gt); \[AH\] chung

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\) (hai góc tương tứng) hay \(AH\) là tia phân giác \(\widehat {BAC}\).

b) Vì \[HD{\rm{//}}AC\] nên \(\widehat {DHA} = \widehat {CAH}\) (cặp góc so le trong)

Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)\[HB = HC\]

\( \Rightarrow \widehat {DHA} = \widehat {BAH} = \widehat {DAH}\), suy ra \(\Delta ADH\) là tam giác cân tại D.

c) Trên tia đối tia \(HD\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = HD\)

Xét \(\Delta CHE\) và \(\Delta BHD\)có:

\[HB = HC\] (gt)

\(\widehat {CHE} = \widehat {BHD}\) (đối đỉnh)

\[EH = DH\] (cách dựng)

Do đó \(\Delta CHE = \Delta BHD\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {ECH} = \widehat {DBH}\) (hai góc tương ứng, \(CE\,{\rm{//}}\,BD\))

Mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên hay \(CE\,{\rm{//}}\,AD\)

Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta DCA\) có:

\[\widehat {ACD} = \widehat {EDC}\] (2 góc so le trong, do \[HD\,{\rm{//}}\,AC\])

\(CD\) chung

\[\widehat {ECD} = \widehat {ADC}\] (2 góc so le trong, do \(CE\,{\rm{//}}\,AD\))

Do đó: \(\Delta CDE = \Delta DCA\) (g.c.g)

Suy ra \(AC = DE\) (hai cạnh tương ứng)

Ta có \(HD = \frac{1}{2}ED = \frac{1}{2}AC\,;\,\,HC = \frac{1}{2}CB\).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho \(\Delta CDH\) ta có:

\(CD < HD + HC < \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC < \frac{{AC + BC}}{2}\) (đpcm)