Một khung dây hình vuông ABCD có cạnh dài 30 cm, cho khung dây chuyển động thẳng đều với tốc độ \(30{\rm{\;cm}}/{\rm{s}}\) qua vùng từ trường giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song \(\left( {\rm{P}} \right)\) và \(\left( {\rm{Q}} \right)\) cách nhau \(1,5{\rm{\;m}}\). Trong quá trình chuyển độ ng, mặt phẳng khung dây vuông góc với các đường sức từ, cạnh BC song song với các mặt giới hạn (hình vẽ bên). Cảm ứng từ có độ lớn giảm đều từ 2 T ở mặt \(\left( {\rm{P}} \right)\) xuống \(0,5{\rm{\;T}}\) ở mặt \(\left( {\rm{Q}} \right)\), điện trở khung dây bằng \(0,01{\rm{\Omega }}\). Trong khoảng thời gian từ khi khung bắt đầu vào vùng có từ trường đến khi khung ra khỏi vùng này, tổng nhiệt lượng tỏa ra trên khung là \({\rm{x}}\left( {\rm{J}} \right)\). Tìm x (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần mười)?

Đáp án: 3,4

Chọn trục Ox có gốc O tại (P), chiều dương hướng sang phải

\(B = ax + b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0,5 = a.1,5 + b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = - 1\end{array} \right. \Rightarrow B = - x + 2\) với \(0 \le x \le 1,5m\)

Áp dụng quy tắc bàn tay phải được suất điện động trên 2 cạnh AD và BC mắc xung đối

\[e = \left| {{e_{AD}} - {e_{BC}}} \right| = \left| {{B_{AD}}lv - {B_{BC}}lv} \right| = \left| {\Delta B} \right|lv\]

\[Q = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {Pdt} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{{e^2}}}{R}.\frac{{dx}}{v}} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\frac{{\Delta {B^2}{l^2}{v^2}}}{R}.\frac{{dx}}{v}} = \frac{{{l^2}v}}{R}\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\Delta {B^2}dx} \]

GĐ1: Cạnh BC ở (P) đến khi cạnh AD ở (P) thì \(0 \le x < 0,3m\)

\[\left\{ \begin{array}{l}{B_{AD}} = 0\\{B_{BC}} = - x + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left| {\Delta B} \right| = - x + 2\]

GĐ2: Cạnh AD ở (P) đến khi cạnh BC ở (Q) thì \(0,3 \le x \le 1,5m\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{B_{AD}} = - \left( {x - 0,3} \right) + 2\\{B_{BC}} = - x + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left| {\Delta B} \right| = 0,3\)

GĐ3: Cạnh BC ở (Q) đến khi cạnh AD ở (Q) thì \(1,5 < x \le 1,8m\) (với \(x\) là tọa độ cạnh BC)

\(\left\{ \begin{array}{l}{B_{AD}} = - \left( {x - 0,3} \right) + 2\\{B_{BC}} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left| {\Delta B} \right| = - x + 2,3\)

Tổng nhiệt lượng là \[\sum Q = \frac{{0,{3^2}.0,3}}{{0,01}}\left[ {\int\limits_0^{0,3} {{{\left( { - x + 2} \right)}^2}dx} + \int\limits_{0,3}^{1,5} {0,{3^2}dx} + \int\limits_{1,5}^{1,8} {{{\left( { - x + 2,3} \right)}^2}dx} } \right] = 3,4182J\]