Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời “sẽ mua”; có 95 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời “sẽ mua” và “không mua” lần lượt là \(70\% \) và \(30\% \). Gọi \(A\) là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm”. Gọi \(B\) là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm”.

Đáp án:

Đổi \[2,4\,\,{\rm{km/h}}\,\,{\rm{ = }}\,\frac{2}{3}\,\,{\rm{m/s;}}\,\,\,4,8\,\,{\rm{km/h}}\,\,{\rm{ = }}\,\frac{4}{3}\,\,{\rm{m/s}}{\rm{.}}\]

Quãng đường Hoa đi hết một chu trình là $AC+CM+\stackrel{⏜}{MD}+DE+EA.$

Tổng thời gian Hoa thực hiện một chu trình là $T=\frac{AC+CM}{\frac{2}{3}}+\frac{\stackrel{⏜}{MD}+DE+EA}{\frac{4}{3}}.$

Do \(AC,\,\,DE,\,\,EA\) không đổi nên \({T_{\max }}\) khi $\frac{CM}{\frac{2}{3}}+\frac{\stackrel{⏜}{MD}}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{2}CM+\frac{3}{4}\stackrel{⏜}{MD}$ đạt giá trị lớn nhất.

Đặt \(\widehat {MCD} = \alpha ,\,\,\,\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \widehat {MOD} = 2\alpha .\)

Suy ra $CM=10\cos \alpha ,\stackrel{⏜}{MD}=10\alpha \Rightarrow \frac{3}{2}CM+\frac{3}{4}\stackrel{⏜}{MD}=15\cos \alpha +\frac{15}{2}\alpha .$

Xét hàm số \(f\left( \alpha \right) = 15\cos \alpha + \frac{{15}}{2}\alpha ,\,\,\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có \(f'\left( \alpha \right) = - 15\sin \alpha + \frac{{15}}{2},\,\,f'\left( \alpha \right) = 0 \Leftrightarrow - 15\sin \alpha + \frac{{15}}{2} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi }{6} \in \left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right).\,\)

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( \alpha \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right),\) ta có \(\mathop {\max }\limits_{\alpha \in \left( {0;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)} f\left( \alpha \right) = f\left( {\frac{\pi }{6}} \right).\)

Vậy \({T_{\max }} = \frac{{3\sqrt {{{25}^2} + 15,{5^2}} }}{2} + \frac{{15}}{2}\left( {\sqrt 3 + \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{{3\left( {15 + 15,5} \right)}}{4} \approx 83,9\) giây\( \approx 1,4\) phút.

Đáp án: \[1,4\].

1. Đúng. Ta có \(AD{\rm{//}}BC \Rightarrow AD{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\).

2. Sai. Vì \(AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) nên \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(AH \bot SB\) tại \(H\). (1)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AH \bot BC} \right.\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2a \cdot a\sqrt 2 }}{{\sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}{\rm{. }}\)

Vậy \(d\left( {D,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

3. Đúng. Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kẻ \(AK \bot SD\) tại \(K\). (3)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot AD}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow AB \bot AK} \right.\). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AK\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \(AB,SD\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\) nên \(AD = \sqrt {A{C^2} - C{D^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\).

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AK\) nên

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a \cdot a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)

Vậy \(d\left( {AB,SD} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

4. Sai. Diện tích đáy hình chóp là: \({S_{ABCD}} = a \cdot a\sqrt 2 = {a^2}\sqrt 2 \).

Thể tích khối chóp cần tìm là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 2a \cdot {a^2}\sqrt 2 = \frac{{2\sqrt 2 {a^3}}}{3}{\rm{ }}\)(đơn vị thể tích).