Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài \(25\,\,{\rm{m,}}\) chiều rộng \(15,5\,\,{\rm{m}}\) và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính \(10\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\) Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng \(AC\) rồi bơi tiếp đoạn thẳng \(CM,\) với \(M\) là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm \(D\) dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí \(A\) và kết thúc chu trình (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là \(2,4\,\,{\rm{km/h, }}\)vận tốc đi bộ là \(4,8\,\,{\rm{km/h}}\) và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Đáp án: ____

Từ đồ thị ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( 1 \right) = - 1\\f\left( 0 \right) = 1\\f\left( { - 2} \right) = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 3\\a + b + c + d = - 1\\d = 1\\ - 8a + 4b - 2c + d = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 3\\d = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\). Suy ra có 2 số dương trong các số \(a,\,b,\,c,\,d\).

Từ đồ thị ta thấy trong khoảng \(\left( { - 2;1} \right)\) hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3.

Từ đồ thị ta thấy tâm đối xứng của đồ thị có hoành độ bằng \(0\).

Ta có \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a\,\,\left( {a \in \left( { - 2\,; - 1} \right)} \right)\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = b\,\,\left( {b \in \left( { - 1\,;0} \right)} \right)\,\,\left( 2 \right)\\f\left( x \right) = c\,\,\left( {c \in \left( {1\,;2} \right)} \right)\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\).

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{5}{2}\) chính là số giao điểm của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = a\,,\,y = b\,,\,y = c\).

Từ đồ thị suy ra phương trình \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) lần lượt có 1 nghiệm, 3 nghiệm, 3 nghiệm.

Vậy phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = \frac{5}{2}\) có 7 nghiệm.

Đáp án: 1 – B; 2 – C; 3 – A; 4 – F.

1. Đúng. Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3;0} \right)\] suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;2;10} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(A\left( {1;2;1} \right)\) nhận \({\overrightarrow n _1} = \left( {3;1;5} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 5z - 10 = 0\).

2. Đúng. Ta có \(3 \cdot 0 + 3 + 5 \cdot 1 - 10 = - 2 \ne 0\) nên \(D \notin \left( {ABC} \right)\).

Do đó bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành tứ diện.

3. Sai. Ta có mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AB\) và song song với \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 14} \right)\).

Vì \(\vec n\) không cùng phương với \(\vec a\) nên \(\vec a = \left( {4; - 2;7} \right)\) không là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

4. Đúng. Trường hợp 1: \(\left( P \right)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) và song song với \(CD\), khi đó:

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 8; - 4; - 14} \right)\) và \(A \in \,\left( P \right)\)\( \Rightarrow \left( P \right):4x + 2y + 7z - 15 = 0.\)

Vì \(4 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 7 \cdot 1 - 15 = 0\) nên \(M \in \left( P \right)\).

Trường hợp 2: \(\left( Q \right)\) qua hai điểm \(A\), \(B\) cắt \(CD\) tại trung điểm \(I\) của đoạn \(CD\).

Ta có \(I\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AI} \left( {0; - 1;0} \right)\), vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {2;0;3} \right)\) nên phương trình \(\left( Q \right):2x + 3z - 5 = 0\).

Vì \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0\) nên \(M \in \left( Q \right)\).