Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho ba điểm \(A\left( {1;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;3} \right)\) và \(C\left( { - 3; - 5} \right).\) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc trục hoành sao cho biểu thức \(P = \left| {2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

 Ta có

 \(2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) - 3\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right),{\rm{ }}\forall I\)

                                        \( = \overrightarrow {MI}  + 2\left( {\overrightarrow {IA}  - 3\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC} } \right),{\rm{ }}\forall I.\)

Chọn điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA}  - 3\overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 .\) \(\left( * \right)\)

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\), từ \(\left( * \right)\) ta có

    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {1 - x} \right) - 3\left( {0 - x} \right) + 2\left( { - 3 - x} \right) = 0}\\{2\left( {0 - y} \right) - 3\left( {2 - y} \right) + 2\left( { - 5 - y} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4}\\{y =  - 16}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow I\left( { - 4; - 16} \right).\)

 Khi đó \(P = \left| {2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI.\)

Để \(P\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất. Mà \(M\) thuộc trục hoành nên \(MI\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên trục hoành \( \Rightarrow M\left( { - 4;0} \right).\)