Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y + z + 1 = 0\), \(\left( Q \right):\,2\,x - 2y + z - 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {0;\,1;1} \right)\), \(B\left( {2;\,0;1} \right)\).
1. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song nhau.
2. Khoảng cách \(d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = 4\).
3. Khoảng cách \(d\left( {\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right) = 6\).
4. Cho biết điểm \(C \in \left( P \right)\) và đường thẳng \(BC\) tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) góc \(30^\circ \). Khi đó ta có khoảng cách \(BC = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo ĐGNL V-SAT môn Toán 2026 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1. Đúng. Ta có \({\overrightarrow n _1}\left( {2; - 2;1} \right)\) và \({\overrightarrow n _2}\left( {2; - 2;1} \right)\) là các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) tương ứng. Rõ ràng chúng cùng phương nhau (vì \({\overrightarrow n _1} = {\overrightarrow n _2}\)).
Mặt khác ta có \(1 \ne - 5\) là các hệ số tự do của phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng tương ứng.
Từ đó ta có hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song nhau.
2. Sai. Ta có: \(d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 2 + 1 - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 2\).
3. Sai. Ta thấy \(A\left( {0;\,1;1} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) vì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 = 0\).
Mà có \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) và \(A \in \left( P \right)\) nên \(d\left( {P,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = 2\).
4. Sai. Ta thấy \(B\left( {2;\,0;1} \right)\) thuộc \(\left( Q \right)\) vì tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\): \(2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 - 5 = 0\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(\left( P \right)\), ta có \(BH = d\left( {B,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = 2\).
Vì góc giữa đường thẳng \(BC\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(30^\circ \) nên suy ra \(\widehat {BCH} = 30^\circ \).
Do \(C \in \left( P \right)\) nên xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\) có \(BH = 2\), \(\widehat {BCH} = 30^\circ \), do đó ta có
\(\sin 30^\circ = \frac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{BH}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{2}{{0,5}} = 4\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
1. \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} }}{2}\).
2. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \[60^\circ \].
3. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
4. \(\overrightarrow {AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} }}{4}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1. Đúng. Vì \(M\) là trung điểm của \[BC\] nên \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} }}{2}\).
2. Sai. Tam giác \[ABC\] cân tại \(A\) \( \Rightarrow AM \bot BC\).
Tam giác \[DBC\] cân tại \(D\) \( \Rightarrow DM \bot BC\).
\( \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow AH \bot BC \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ \).
3. Đúng. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} }}{2}} \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2}\).
Ta có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\).
Nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{{a^2}}}{4}\).
4. Sai. \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AD} }}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi \(x = CD\) với \(0 \le x \le 8\), khi đó \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{x^2} + 9} \) và \(BD = 8 - x\).
Thời gian anh Tí đi từ \(A\) đến \(B\) là: \(t\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\).
Ta có: \(t'\left( x \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\),
\(t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 9} = 4x \Rightarrow 7{x^2} = 81 \Rightarrow x = \pm \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).
Vì \(x \in \left[ {0;8} \right]\) nên \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).
Ta có: \(t\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\); \(t\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {73} }}{6}\), \(t\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = \frac{{8 + \sqrt 7 }}{8}\).
Vậy thời gian ngắn nhất khi \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\) và \(t\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) \approx 1,33\) (giờ) \( \approx 80\) (phút).
Đáp án: 80.
Câu 3
1. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2.\)
2. Giá trị \[f\left( 0 \right) = - 5.\]
3. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x - 4.\)
4. Hàm số đã cho là \(y = - 2x - 4 - \frac{2}{{x + 2}} \cdot \)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(75\) m.
B. \(62,5\) m.
C. \(52\) m.
D. \(15\) m.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(8,3\).
B. \(7,5\).
C. \(8,5\).
D. \(8\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập