Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y + z + 1 = 0\), \(\left( Q \right):\,2\,x - 2y + z - 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {0;\,1;1} \right)\), \(B\left( {2;\,0;1} \right)\).
1. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song nhau.
2. Khoảng cách \(d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = 4\).
3. Khoảng cách \(d\left( {\left( P \right),\,\left( Q \right)} \right) = 6\).
4. Cho biết điểm \(C \in \left( P \right)\) và đường thẳng \(BC\) tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) góc \(30^\circ \). Khi đó ta có khoảng cách \(BC = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo ĐGNL V-SAT môn Toán 2026 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1. Đúng. Ta có \({\overrightarrow n _1}\left( {2; - 2;1} \right)\) và \({\overrightarrow n _2}\left( {2; - 2;1} \right)\) là các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) tương ứng. Rõ ràng chúng cùng phương nhau (vì \({\overrightarrow n _1} = {\overrightarrow n _2}\)).
Mặt khác ta có \(1 \ne - 5\) là các hệ số tự do của phương trình tổng quát của 2 mặt phẳng tương ứng.
Từ đó ta có hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song nhau.
2. Sai. Ta có: \(d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {0 - 2 + 1 - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 2\).
3. Sai. Ta thấy \(A\left( {0;\,1;1} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) vì tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 = 0\).
Mà có \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) và \(A \in \left( P \right)\) nên \(d\left( {P,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = 2\).
4. Sai. Ta thấy \(B\left( {2;\,0;1} \right)\) thuộc \(\left( Q \right)\) vì tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\): \(2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 - 5 = 0\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(\left( P \right)\), ta có \(BH = d\left( {B,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( Q \right)} \right) = 2\).
Vì góc giữa đường thẳng \(BC\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(30^\circ \) nên suy ra \(\widehat {BCH} = 30^\circ \).
Do \(C \in \left( P \right)\) nên xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\) có \(BH = 2\), \(\widehat {BCH} = 30^\circ \), do đó ta có
\(\sin 30^\circ = \frac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{BH}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{2}{{0,5}} = 4\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
1. \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} }}{2}\).
2. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \[60^\circ \].
3. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
4. \(\overrightarrow {AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} }}{4}\).
Lời giải
1. Đúng. Vì \(M\) là trung điểm của \[BC\] nên \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} }}{2}\).
2. Sai. Tam giác \[ABC\] cân tại \(A\) \( \Rightarrow AM \bot BC\).
Tam giác \[DBC\] cân tại \(D\) \( \Rightarrow DM \bot BC\).
\( \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow AH \bot BC \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ \).
3. Đúng. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} }}{2}} \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2}\).
Ta có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\).
Nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{{a^2}}}{4}\).
4. Sai. \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AD} }}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\).
Lời giải
Gọi \(x = CD\) với \(0 \le x \le 8\), khi đó \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{x^2} + 9} \) và \(BD = 8 - x\).
Thời gian anh Tí đi từ \(A\) đến \(B\) là: \(t\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\).
Ta có: \(t'\left( x \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\),
\(t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 9} = 4x \Rightarrow 7{x^2} = 81 \Rightarrow x = \pm \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).
Vì \(x \in \left[ {0;8} \right]\) nên \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).
Ta có: \(t\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\); \(t\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {73} }}{6}\), \(t\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = \frac{{8 + \sqrt 7 }}{8}\).
Vậy thời gian ngắn nhất khi \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\) và \(t\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) \approx 1,33\) (giờ) \( \approx 80\) (phút).
Đáp án: 80.
Câu 3
1. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2.\)
2. Giá trị \[f\left( 0 \right) = - 5.\]
3. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x - 4.\)
4. Hàm số đã cho là \(y = - 2x - 4 - \frac{2}{{x + 2}} \cdot \)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(75\) m.
B. \(62,5\) m.
C. \(52\) m.
D. \(15\) m.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(8,3\).
B. \(7,5\).
C. \(8,5\).
D. \(8\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập