Trong không gian tọa độ \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\].
1. Tọa độ tâm \[I\] và bán kính \[R\] của \[\left( S \right)\] lần lượt là \[I\left( {1; - 2; - 1} \right)\] và \[R = 3\].
2. Mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua điểm \[A\left( {1;3; - 1} \right)\].
3. Mặt cầu \[\left( S \right)\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 6 = 0\].
4. Giao tuyến của mặt phẳng \[\left( Q \right):2x + 2y + z + 5 = 0\] và mặt cầu \[\left( S \right)\] là một đường tròn có bán kính bằng \[\frac{{\sqrt {17} }}{3}\].
Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo ĐGNL V-SAT môn Toán 2026 !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1. Sai. Mặt cầu \[\left( S \right)\] có phương trình là: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z - 3 = 0\].
Suy ra, mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] và bán kính \[R = 3\].
2. Đúng. Thay tọa độ điểm \[A\left( {1;3; - 1} \right)\] vào phương trình mặt cầu \[\left( S \right)\] ta có:
\[{1^2} + {3^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 3 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 = 0\]. Vậy, mặt cầu \[\left( S \right)\] đi qua điểm \[A\left( {1;3; - 1} \right)\].
3. Đúng. Khoảng cách từ tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 6 = 0\] là:
\[d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 = R\].
Suy ra, mặt cầu \[\left( S \right)\] tiếp xúc với mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 6 = 0\].
4. Đúng. Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của tâm \[I\left( { - 1;2;1} \right)\] trên mặt phẳng \[\left( Q \right):2x + 2y + z + 5 = 0\].
Khi đó, \[d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = IH = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) + 2 \cdot 2 + 1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{3}\].
Giả sử, giao tuyến của mặt phẳng \[\left( Q \right):2x + 2y + z + 5 = 0\] và mặt cầu \[\left( S \right)\] là một đường tròn có bán kính bằng \[r\].
Khi đó, \[r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
1. \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} }}{2}\).
2. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng \[60^\circ \].
3. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
4. \(\overrightarrow {AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} }}{4}\).
Lời giải
1. Đúng. Vì \(M\) là trung điểm của \[BC\] nên \(\overrightarrow {DM} = \frac{{\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} }}{2}\).
2. Sai. Tam giác \[ABC\] cân tại \(A\) \( \Rightarrow AM \bot BC\).
Tam giác \[DBC\] cân tại \(D\) \( \Rightarrow DM \bot BC\).
\( \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow AH \bot BC \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 90^\circ \).
3. Đúng. \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} }}{2}} \right) = \overrightarrow {AB} \cdot \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2}\).
Ta có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\).
Nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AM} }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{{a^2}}}{4}\).
4. Sai. \(\overrightarrow {AH} = \frac{{\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AD} }}{2} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{2}} \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{{\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} }}{4}\).
Lời giải
Gọi \(x = CD\) với \(0 \le x \le 8\), khi đó \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} = \sqrt {{x^2} + 9} \) và \(BD = 8 - x\).
Thời gian anh Tí đi từ \(A\) đến \(B\) là: \(t\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\).
Ta có: \(t'\left( x \right) = \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\),
\(t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 9} = 4x \Rightarrow 7{x^2} = 81 \Rightarrow x = \pm \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).
Vì \(x \in \left[ {0;8} \right]\) nên \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).
Ta có: \(t\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\); \(t\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {73} }}{6}\), \(t\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = \frac{{8 + \sqrt 7 }}{8}\).
Vậy thời gian ngắn nhất khi \(x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\) và \(t\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) \approx 1,33\) (giờ) \( \approx 80\) (phút).
Đáp án: 80.
Câu 3
1. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2.\)
2. Giá trị \[f\left( 0 \right) = - 5.\]
3. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x - 4.\)
4. Hàm số đã cho là \(y = - 2x - 4 - \frac{2}{{x + 2}} \cdot \)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(75\) m.
B. \(62,5\) m.
C. \(52\) m.
D. \(15\) m.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(8,3\).
B. \(7,5\).
C. \(8,5\).
D. \(8\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập