Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình\(\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 2t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z + 11 = 0\).

1. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) có tọa độ là	A. \(\left( {3;\,\,2;\,\,1} \right)\).
2. Tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu của \(A\left( {1;\,\, - 2;\,\, - 5} \right)\) trên \(\Delta \) là	B. \(\left( {5; - 6; - 11} \right)\).
3. Tọa độ điểm \(A'\) sao cho \(AA' = 2AH\) và ba điểm \(A,\,A',\,H\) thẳng hàng là	C. \(\left( { - 1;\,0;\, - 2} \right)\).
4. Tọa độ điểm \(B'\) đối xứng với điểm \(B\left( {1;\,\, - 1;\,\,2} \right)\) qua \(\left( P \right)\) là	D. \(\left( {2; - 1;2} \right)\).
	E. \(\left( { - 3;\,\,1;\, - 2} \right)\).
	F. \(\left( { - 7;\,3;\,\, - 6} \right)\).

Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1;2} \right)\).

Để tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu của \(A\left( {1;\,\, - 2;\,\, - 5} \right)\) trên \(\Delta \), ta có thể làm theo các cách sau:

Cách 1: Vì \(H \in \Delta \) nên \(H\left( {1 + 2t;\,\, - 1 - t;\,2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t;\,\,1 - t;\,\,2t + 5} \right).\)

Điểm \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\Delta \) nên \(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {{u_\Delta }} = 0,\) hay

\[2 \cdot \left( {2t} \right) - 1 \cdot \left( {1 - t} \right) + 2 \cdot \left( {2t + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( { - 1;\,0;\, - 2} \right).\]

Vậy điểm cần tìm là \(H\left( { - 1;\,\,0;\,\, - 2} \right)\).

Cách 2: Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(A\left( {1;\,\, - 2;\,\, - 5} \right)\) và vuông góc với \(\Delta \).

Ta có một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;\,\, - 1;\,\,2} \right)\) nên \(\left( \alpha \right):\,\,\,2x - y + 2z - 6 = 0.\)

Điểm \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\Delta \) thì \(H = \left( P \right) \cap \Delta \Rightarrow H\left( { - 1;\,0;\,\, - 2} \right)\).

Vì ba điểm \(A,\,A',\,H\) thẳng hàng và \(AA' = 2AH\) nên có hai trường hợp

TH1: \(\overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {AH} ,\) khi đó \(H\) là trung điểm \(AA'\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_H}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = - 3\\{y_{A'}} = 2\\{z_{A'}} = 1\end{array} \right..\)

Vậy \(A'\left( { - 3;\,\,2;\,\,1} \right)\).

TH2: \(\overrightarrow {AA'} = - 2\overrightarrow {AH} ,\) khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} - 1 = - 2 \cdot \left( { - 2} \right)\\{y_{A'}} + 2 = - 2 \cdot 2\\{z_{A'}} + 5 = - 2 \cdot 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 5\\{y_{A'}} = - 6\\{z_{A'}} = - 11\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {5;\, - 6;\, - 11} \right).\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn là \(A'\left( { - 3;\,\,2;\,\,1} \right)\) hoặc \(A'\left( {5;\, - 6;\, - 11} \right).\)

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(B\left( {1;\,\, - 1;\,\,2} \right)\) và \(d \bot \left( P \right),\) khi đó một vectơ phương của \(d\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\, - 1;\,\,2} \right)\) nên \(d:\,\,\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2}.\)

Điểm \(K\) là hình chiếu của \(B\) trên \(\left( P \right)\) thì \(K = d \cap \left( P \right),\) nên tọa độ \(K\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2}\\2x - y + 2z + 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { - 3;\,\,1;\, - 2} \right).\)

Điểm \(B'\) đối xứng với \(B\) qua \(\left( P \right)\) khi \(K\) là trung điểm của \(BB'\) nên tọa độ điểm \(B'\) cần tìm là \(B'\left( { - 7;\,3;\,\, - 6} \right)\).

Đáp án: 1 – D; 2 – C; 3 – B; 4 – F.