Trong một mô hình kinh tế, hàm cung \(y = S\left( x \right)\) là giá của một sản phẩm khi nhà sản xuất sẵn sàng bán ra x sản phẩm, hàm cầu \(y = D\left( x \right)\) là giá của một sản phẩm khi người tiêu dùng có nhu cầu mua x sản phẩm. Điểm cắt nhau \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của đồ thị hàm cầu và hàm cung được gọi là điểm cân bằng thị trường. Các nhà kinh tế gọi thặng dư tiêu dùng là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang \(y = {y_0}\) và trục tung. Tương tự, thặng dư sản xuất là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường ngang \(y = {y_0}\) và trục tung (Hình vẽ). 

Xem xét thị trường tấm pin năng lượng mặt trời thế hệ mới được mô hình hóa theo mô hình kinh tế này. Hàm cầu là \(p = D\left( x \right) = 4 - 0,2x\) (triệu đồng/tấm). Hàm cung là \(y = S\left( x \right) = 0,4 + 0,1x + \frac{1}{m}{x^2}\) (triệu đồng/tấm). Trong đó \(x\) là sản lượng (đơn vị: nghìn sản phẩm), \(p\) là giá bán (đơn vị: triệu đồng/sản phẩm) và \(m\) là chỉ số hiệu quả công nghệ  (\(m > 0\)). Biết rằng tại trạng thái cân bằng thị trường, thặng dư sản xuất đạt được là \(4,2\) tỷ đồng. Tại thời điểm này, thặng dư tiêu dùng là bao nhiêu tỷ đồng?

Đáp án: 130.

Thời gian di chuyển của một chuyến đi với khoảng cách 60 km là: \(t = \frac{{60}}{v}\) (giờ).

Theo quy định, thời gian di chuyển không vượt quá 1 giờ 30 phút (1,5 giờ), do đó ta có bất phương trình: \(\frac{{60}}{v} \le 1,5 \Leftrightarrow v \ge 40\).

Tàu chạy không quá \(55\,{\rm{km/h}}\): \(v \le 55\).

Kết hợp lại, tập xác định của \(v\) là: \(v \in \left[ {40\,;\,55} \right]\).

Chi phí vận hành trong 1 giờ là: \(100{v^3} + 4000000\) (đồng).

Tổng chi phí vận hành cho một chuyến đi là hàm số \(f\left( v \right)\), được tính bằng chi phí 1 giờ nhân với thời gian di chuyển: \(f\left( v \right) = \left( {100{v^3} + 4{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000} \right)\,.\,\frac{{60}}{v} = 6000{v^2} + \frac{{240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{v}\).

Ta có: \(f'\left( v \right) = 12000v - \frac{{240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{{{v^2}}} = \frac{{12000{v^3} - 240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{{{v^2}}}\).

Cho \(f'\left( v \right) = 0\)\( \Rightarrow \)\(12000{v^3} - 240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000 = 0\)\( \Leftrightarrow {v^3} = 20000\)\( \Leftrightarrow v = \sqrt[3]{{20000}} \approx 27,14\).

Ta có bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {40\,;\,55} \right]\] đạt được tại \(v = 40\).

\( \Rightarrow \) Tổng chi phí thấp nhất là: \(\min f\left( v \right) = 15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000\)(đồng).

Lợi nhuận mục tiêu \(\left( {25\% } \right)\) là: \(0,25\,.\,15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000 = 3{\mkern 1mu} 900{\mkern 1mu} 000\)

Tổng doanh thu cần đạt được là: \(15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000 + 3{\mkern 1mu} 900{\mkern 1mu} 000 = 19{\mkern 1mu} 500{\mkern 1mu} 000\) (đồng).

Giá vé mỗi hành khách phải trả cho 150 khách là: \(\frac{{19{\mkern 1mu} 500{\mkern 1mu} 000}}{{150}} = 130{\mkern 1mu} 000\) (đồng)

Giá vé mỗi hành khách phải trả là 130 nghìn đồng.

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Sai | d) Đúng

a) Tại thời điểm kết thúc khóa học, lượng kiến thức bạn Thành nhớ được là

\(f\left( {24} \right) = 94 - 12\ln \left( {3 \cdot 0 + 1} \right) = 94\% \).

Chọn ĐÚNG.

b) Tốc độ thay đổi kiến thức của bạn Thành ở thời điểm sau \(t\) tháng kết thúc khóa học là \(f'\left( t \right) =  - \frac{{36}}{{3t + 1}}\) (với \(0 \le t \le 24\)).

Chọn SAI.

c) Sau \(3\) tháng khóa học kết thúc, tốc độ giảm sút kiến thức của bạn Thành là \(\left| {f'\left( 3 \right)} \right| = \left| { - \frac{{36}}{{3 \cdot 3 + 1}}} \right| = 3,6\)%/tháng.

Chọn SAI.

d) Tốc độ giảm sút kiến thức của bạn Công là \({f'_C} = \frac{1}{3}f'\left( t \right) =  - \frac{{12}}{{3t + 1}}\)

Suy ra, sau \(3\)tháng lượng kiến thức bạn Công còn nhớ được là

\(96 + \int\limits_0^3 {\frac{{ - 12}}{{3t + 1}}{\rm{d}}t = 86,8\% } \)

Chọn ĐÚNG.