Trong không gian \[Oxyz\], mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với 1 mét. Mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] biểu diễn mặt sàn của một gara, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trên. Một bức tường thẳng đứng trong gara được mô hình hóa bởi mặt phẳng \(\left( E \right):6x + 8y = 55\). Chiếc ô tô đang lùi chậm vào vị trí đỗ theo hướng vectơ \(\overrightarrow v = \left( {3;4;0} \right)\). Ba cảm biến lùi được gắn cố định trên cản sau của ô tô. Tại thời điểm bắt đầu xét, tọa độ của ba cảm biến lần lượt là \(A\left( {4,57;0,51;0,5} \right),B\left( {3,37;1,41;0,5} \right),\) \(C\left( {4;1;0,5} \right)\). Hệ thống phát tín hiệu cảnh báo “Bíp” tại thời điểm đầu tiên có ít nhất một cảm biến cách bức tường \(\left( E \right)\) không quá \(0,3\) mét. Gọi \(R\left( {a;b;c} \right)\) là tọa độ của cảm biến đầu tiên đạt ngưỡng cảnh báo. Tính \(a - b + c\).

Đáp án: 36.

Gọi các tệp văn bản lần lượt là \({a_1},{a_2},{a_3}\), các tệp âm thanh là \({b_1},{b_2},{b_3},{b_4},{b_5}\) và các tệp video là \[{c_1},{c_2},{c_3},{c_4},{c_5},{c_6},{c_7}\].

Bước 1. Xếp các tệp video, có \(7!\) cách xếp.

Khi đó, 7 tệp video này sẽ tạo ra 8 khoảng trống từ \({x_1}\) đến \({x_8}\).

Bước 2. Ta xếp các tệp còn lại vào 8 khoảng trống này.

Trường hợp 1: Mỗi vị trí từ \({x_1}\) đến \({x_8}\) đều chứa 1 tệp, có \(8! = 40320\) cách xếp.

Trường hợp 2: Vị trí \({x_1}\) hoặc \({x_8}\) chứa 2 tệp, các vị trí từ \({x_2}\) đến \({x_7}\) chứa chứa 1 tệp.

Có \[C_2^1.C_5^1.C_3^1.2!.6! = 43200\] cách xếp.

Trường hợp 3: Vị trí \({x_1}\) và \({x_8}\) không chứa tệp, có 2 vị trí từ \({x_2}\) đến \({x_7}\) chứa 2 tệp, 4 vị trí còn lại chứa 1 tệp. Có \[C_6^2.C_3^1.C_5^1.2!.C_2^1.C_4^1.2!.4! = 172800\] cách xếp.

Trường hợp 4: Vị trí \({x_1}\) và \({x_8}\) không chứa tệp, có 1 vị trí từ \({x_2}\) đến \({x_7}\) chứa 3 tệp, 5 vị trí còn lại chứa 1 tệp. Có \[C_6^1.\left( {C_3^2.C_5^1 + C_3^1.C_5^2} \right).2!.5! = 64800\] cách xếp.

Do đó \[S = \left( {40320 + 43200 + 172800 + 64800} \right).7! = 1\,\,618\,\,444\,\,800\] cách xếp.

Vậy tổng các chữ số của \[S\] là \[36\].

Đáp án: 130.

Thời gian di chuyển của một chuyến đi với khoảng cách 60 km là: \(t = \frac{{60}}{v}\) (giờ).

Theo quy định, thời gian di chuyển không vượt quá 1 giờ 30 phút (1,5 giờ), do đó ta có bất phương trình: \(\frac{{60}}{v} \le 1,5 \Leftrightarrow v \ge 40\).

Tàu chạy không quá \(55\,{\rm{km/h}}\): \(v \le 55\).

Kết hợp lại, tập xác định của \(v\) là: \(v \in \left[ {40\,;\,55} \right]\).

Chi phí vận hành trong 1 giờ là: \(100{v^3} + 4000000\) (đồng).

Tổng chi phí vận hành cho một chuyến đi là hàm số \(f\left( v \right)\), được tính bằng chi phí 1 giờ nhân với thời gian di chuyển: \(f\left( v \right) = \left( {100{v^3} + 4{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000} \right)\,.\,\frac{{60}}{v} = 6000{v^2} + \frac{{240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{v}\).

Ta có: \(f'\left( v \right) = 12000v - \frac{{240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{{{v^2}}} = \frac{{12000{v^3} - 240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000}}{{{v^2}}}\).

Cho \(f'\left( v \right) = 0\)\( \Rightarrow \)\(12000{v^3} - 240{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000 = 0\)\( \Leftrightarrow {v^3} = 20000\)\( \Leftrightarrow v = \sqrt[3]{{20000}} \approx 27,14\).

Ta có bảng biến thiên:

\( \Rightarrow \) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {40\,;\,55} \right]\] đạt được tại \(v = 40\).

\( \Rightarrow \) Tổng chi phí thấp nhất là: \(\min f\left( v \right) = 15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000\)(đồng).

Lợi nhuận mục tiêu \(\left( {25\% } \right)\) là: \(0,25\,.\,15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000 = 3{\mkern 1mu} 900{\mkern 1mu} 000\)

Tổng doanh thu cần đạt được là: \(15{\mkern 1mu} 600{\mkern 1mu} 000 + 3{\mkern 1mu} 900{\mkern 1mu} 000 = 19{\mkern 1mu} 500{\mkern 1mu} 000\) (đồng).

Giá vé mỗi hành khách phải trả cho 150 khách là: \(\frac{{19{\mkern 1mu} 500{\mkern 1mu} 000}}{{150}} = 130{\mkern 1mu} 000\) (đồng)

Giá vé mỗi hành khách phải trả là 130 nghìn đồng.