Ở thành phố St. Louis (Mỹ) có một cái cổng có dạnh hình Parabol bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch (Gateway Arch). Giả sử ta lập một hệ tọa độ \(Oxy\) như trên hình (\(x\) và \(y\) tính bằng mét), một chân của cổng ở vị trí A có \(x = 81\), một điểm \(M\) trên cổng có tọa độ là\(( - 71: - 143)\). Tính chiều cao \(OH\) của cổng (làm tròn đến hàng đơn vị).

a) Ta có: \[AC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]suy ra \[AC \bot OC\].

Suy ra \[\Delta ACO\] vuông tại \[C\]

Do đó, ba điểm \[A,C,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (1)

Lại có: \[\Delta OED\] cân tại \[O\] có \[OI\] là trung tuyến đồng thời là đường cao.

Suy ra \[OI \bot ED\] nên \[\widehat {OIE} = 90^\circ \], do đó \[\Delta OIA\] vuông tại \[I\].

Do đó, ba điểm \[A,I,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\]. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[A,I,O,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\].

b) Ta có \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\[OB = OC\,\,\left( { = R} \right)\]

Suy ra \[OA\] là đường trung trực của \[BC\] nên \[OA \bot BC\] tại \[H\] hay \[\widehat {CHO} = 90^\circ \]

Chứng minh (g.g)

Suy ra \[\frac{{HO}}{{CO}} = \frac{{CO}}{{AO}}\] nên \[OH.OA = O{C^2}\].

c) +) Có: \[\widehat {CED} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \[\widehat {CEA} = 90^\circ \]

Suy ra \[\Delta CEA\] vuông tại \[E\]

Xét \[\Delta CEA\] vuông tại \[E\] có \[M\] là trung điểm của \[EC\] nên

\[EM = MA = MC = \frac{1}{2}AC.\]

Do đó \[\Delta MEO = \Delta MCO\] (c.c.c)

Suy ra \[\widehat {MEO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \]

Do đó \[ME\] là tiếp tuyến của đường tròn (O).

+) Gọi \[P\] là giao điểm của \[BC\] và \[OI\]

Xét \[\Delta OHP\]và \[\Delta OIA\]có: \[\widehat {HOI}\] chung; \[\widehat {OHP} = \widehat {OIA} = 90^\circ \]

Do đó (g.g)

Suy ra \[\frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OA}}\] nên \[OH.OA = OI.OP\]

Mà \[OH.OA = O{C^2}\]; \[OC = OE\,\,\left( { = R} \right)\] nên \[OI.OP = O{E^2}\] suy ra \[\frac{{OE}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OE}}\].

Xét \[\Delta OEP\] và \[\Delta OIE\] có: \[\widehat {EOI}\] chung; \[\frac{{OE}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OE}}\]

Do đó (c.g.c).

Suy ra \[\widehat {OEP} = \widehat {OIE} = 90^\circ \] nên \[EP \bot EO\].

Mà \[ME \bot EO\] nên ba điểm \[M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}P\] thẳng hàng.

Do đó, ba đường thẳng \[ME,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}OI\] cắt nhau tại P.

Vậy ba đường thẳng \[ME,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}OI\] đồng quy.

Đáp án đúng: B