Cho phương trình \(2{x^2} - 7x - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)\(\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{\sqrt {\frac{{23{x_1} + 33}}{2}} + {x_2} + 21}}{{{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}}.\)

a) Ta có \(BE \bot AC \Rightarrow \Delta EBC\) vuông tại \(E\)\( \Rightarrow \)\(E,\)\(B,\)\(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\) (1)

Ta có \[CF \bot AB \Rightarrow \Delta FBC\] vuông tại \(F\)\( \Rightarrow \)\(F,\)\(B,\)\(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(C,\)\(E,\)\(F,\)\(B\) cùng thuộc đường tròn, hay tứ giác \[CEFB\] là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tương tự như câu a) ta có \(AEHF\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AHE} = \widehat {AFE}.\) (3)

Mà \[CEFB\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ACM} = \widehat {AFE}\)(cùng bù với \(\widehat {BFE}\)) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {ACM}.\)

Chứng minh tương tự như câu a) ta có \(AHKE\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AHE} = \widehat {AKE}.\) Mà \(\widehat {AHE} = \widehat {ACM}\)(theo chứng minh trên) nên \(\widehat {ACM} = \widehat {AKE}.\) (5)

Mặt khác: \(EM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(BEC\) nên \(ME = \frac{{BC}}{2} = MC\)\( \Rightarrow \Delta MEC\) cân tại \(M\)\( \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {MEC}.\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {AKE}\)\( \Rightarrow 180^\circ - \widehat {MEC} = 180^\circ - \widehat {AKE}\)\( \Rightarrow \widehat {MEA} = \widehat {MKE}\)

\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{ME}} = \frac{{ME}}{{MA}} \Rightarrow M{E^2} = MA \cdot MK\)\( \Rightarrow {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = MA \cdot MK\)\( \Rightarrow B{C^2} = 4MA \cdot MK.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PN\) và \(EQ.\)

Ta có \(\widehat {ANE} = \widehat {AES}\)(cùng phụ với \(\widehat {EAN}\))\( \Rightarrow \widehat {CES} = \widehat {BNA}.\) Kết hợp với \(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\)suy ra

\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BA}} = \frac{{CE}}{{CS}}\)\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{2BP}} = \frac{{CE}}{{2CQ}}\)\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BP}} = \frac{{CE}}{{CQ}}\)\( \Rightarrow \widehat {CEQ} = \widehat {BNP} = \widehat {ENI}\)\( \Rightarrow \widehat {CEQ} + \widehat {QEN} = \widehat {ENI} + \widehat {QEN}\)\( \Rightarrow 90^\circ = \widehat {ENI} + \widehat {QEN}\)\( \Rightarrow \widehat {NIE} = 90^\circ \Rightarrow PN \bot EQ.\)

Gọi \(R\) là bán kính hình cầu và \(r\) là bán kính đáy của hình nón.

Gọi \(O\) là tâm của mặt cầu và \(I\) là tâm của đường tròn đáy hình nón.

Đặt \(SI = h\). Khi đó ta có \(OI = h - R\)

Tam giác \(IBO\) vuông tại \(I\) nên ta theo định lý Pythagore ta có

\({r^2} = I{B^2} = O{B^2} - O{I^2} = {R^2} - {\left( {h - R} \right)^2} = 2Rh - {h^2}\)

Thể tích của phần nhân hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}h\left( {2Rh - {h^2}} \right)\)

Phần vỏ Chocolate phía ngoài viên kẹo chính là phần hình cầu có bán kính \(R = 1,5\,\,{\rm{cm}}\) và là phần phía ngoài của nhân hình nón. Để lượng Chocolate dùng làm kẹo ít nhất thì thể tích nhân hình nón phải lớn nhất.

Với ba số dương \[a\], \[b\], \[c\] thì ta có:

\({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\)\( = {\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - 3abc\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

Do đó \({a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3abc,\) đặt \(a = \sqrt[3]{x},\)\(b = \sqrt[3]{y},\)\(c = \sqrt[3]{z}\)\( \Rightarrow x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\)\( \Rightarrow xyz \le {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3},\) đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\) hay \(x = y = z\) (*).

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có

\(h\left( {2Rh - {h^2}} \right) = \frac{1}{2}h.h\left( {4R - 2h} \right) \le \frac{1}{2}{\left( {\frac{{h + h + 4R - 2h}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{4R}}{3}} \right)^3}\)

Do đó ta có \(V \le \frac{\pi }{6}{\left( {\frac{{4R}}{3}} \right)^3}\), dấu “=” xảy ra khi \(h = 4R - 2h\) hay \(h = \frac{{4R}}{3} = \frac{{4.1,5}}{3} = 2\,\,\left( {cm} \right)\)

Vậy chiều cao của phần nhân để thể tích Chocolate nguyên liệu dùng làm kẹo cầu là ít nhất khi \(h = 2\,\left( {cm} \right)\).