Một nhà máy muốn sản xuất loại kẹo Chocolate hình cầu đặc có đường kính \({\rm{3}}\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Cấu tạo viên kẹo gồm phần nhân sữa dẻo có dạng hình nón nội tiếp bên trong (Đỉnh và đường tròn đáy nằm trên bề mặt của quả cầu) và phần vỏ Chocolate bao phủ bên ngoài (như hình vẽ). Vì giá thành nhập nguyên liệu Chocolate cao hơn sữa dẻo, nhà máy cần thiết kế kích thước phần nhân sao cho lượng Chocolate sử dụng cho mỗi viên kẹo là ít nhất. Hãy xác định chiều cao của phần nhân hình nón để tối ưu hóa chi phí sản xuất.

a) Ta có \(BE \bot AC \Rightarrow \Delta EBC\) vuông tại \(E\)\( \Rightarrow \)\(E,\)\(B,\)\(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\) (1)

Ta có \[CF \bot AB \Rightarrow \Delta FBC\] vuông tại \(F\)\( \Rightarrow \)\(F,\)\(B,\)\(C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(C,\)\(E,\)\(F,\)\(B\) cùng thuộc đường tròn, hay tứ giác \[CEFB\] là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tương tự như câu a) ta có \(AEHF\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AHE} = \widehat {AFE}.\) (3)

Mà \[CEFB\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {ACM} = \widehat {AFE}\)(cùng bù với \(\widehat {BFE}\)) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {AHE} = \widehat {ACM}.\)

Chứng minh tương tự như câu a) ta có \(AHKE\)là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {AHE} = \widehat {AKE}.\) Mà \(\widehat {AHE} = \widehat {ACM}\)(theo chứng minh trên) nên \(\widehat {ACM} = \widehat {AKE}.\) (5)

Mặt khác: \(EM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông \(BEC\) nên \(ME = \frac{{BC}}{2} = MC\)\( \Rightarrow \Delta MEC\) cân tại \(M\)\( \Rightarrow \widehat {ACM} = \widehat {MEC}.\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\widehat {MEC} = \widehat {AKE}\)\( \Rightarrow 180^\circ - \widehat {MEC} = 180^\circ - \widehat {AKE}\)\( \Rightarrow \widehat {MEA} = \widehat {MKE}\)

\( \Rightarrow \frac{{MK}}{{ME}} = \frac{{ME}}{{MA}} \Rightarrow M{E^2} = MA \cdot MK\)\( \Rightarrow {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = MA \cdot MK\)\( \Rightarrow B{C^2} = 4MA \cdot MK.\)

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PN\) và \(EQ.\)

Ta có \(\widehat {ANE} = \widehat {AES}\)(cùng phụ với \(\widehat {EAN}\))\( \Rightarrow \widehat {CES} = \widehat {BNA}.\) Kết hợp với \(\widehat {ABE} = \widehat {ACF}\)suy ra

\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BA}} = \frac{{CE}}{{CS}}\)\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{2BP}} = \frac{{CE}}{{2CQ}}\)\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BP}} = \frac{{CE}}{{CQ}}\)\( \Rightarrow \widehat {CEQ} = \widehat {BNP} = \widehat {ENI}\)\( \Rightarrow \widehat {CEQ} + \widehat {QEN} = \widehat {ENI} + \widehat {QEN}\)\( \Rightarrow 90^\circ = \widehat {ENI} + \widehat {QEN}\)\( \Rightarrow \widehat {NIE} = 90^\circ \Rightarrow PN \bot EQ.\)

Do phương trình có hai nghiệm phân biệt\(\;{x_1},{x_2}\) nên heo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2}\) và \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{2}.\)

Ta có \(N = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}\,} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{49}}{4} + \frac{4}{2} = \frac{{57}}{4}.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 7x - 1 = 0\) nên \(2x_1^2 - 7{x_1} - 1 = 0 \Rightarrow {x_1}^2 = \frac{{7{x_1} + 1}}{2}\)\( \Rightarrow {\left( {{x_1} + 4} \right)^2} = {x_1}^2 + 8{x_1} + 16\)\( = \frac{{7{x_1} + 1}}{2} + 8{x_1} + 16\)\( = \frac{{23{x_1} + 33}}{2}\)

Do đó \(M = \sqrt {\frac{{23{x_1} + 33}}{2}} + {x_2} + 21 = \sqrt {{{\left( {{x_1} + 4} \right)}^2}} + {x_2} + 21 = \left| {{x_1} + 4} \right| + {x_2} + 21\)

\( = {x_1} + {x_2} + 25 = \frac{7}{2} + 25 = \frac{{57}}{2}\) (Vì \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow {x_1}\) và \({x_2}\) trái dấu.

Kết hợp với giả thiết \({x_1} > {x_2}\) ta có \({x_1} > 0 > {x_2}\)\( \Rightarrow {x_1} + 4 > 0 \Rightarrow \left| {{x_1} + 4} \right| = {x_1} + 4\))

Vậy \(P = M:N = \frac{{57}}{2}:\frac{{57}}{4} = 2\)