Cho tam giác \[ABC\] nhọn có ba đỉnh nằm trên đường tròn \[\left( O \right)\]. Hai đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại \[H\]. Vẽ đường kính \[AF\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?        

Đáp án: 30

Kẻ đường kính \[AD\] của đường tròn \(\left( O \right)\).

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có 

\(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\])

\(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \[\Delta ACH\] và \[\Delta ADB\] có: \(\widehat {AHC} = \widehat {ABD} = 90^\circ ,\) \(\widehat {ACH} = \widehat {ADB}\)

Do đó $\Delta ACH\backsim \Delta ADB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên \(AD = \frac{{AB \cdot AC}}{{AH}} = \frac{{12 \cdot 15}}{6} = 30\,\,({\rm{cm}}).\)

Vậy đường kính của đường tròn là 30 cm.

Đáp án đúng là: a) Đúng.  b) Đúng.    c) Đúng.    d) Đúng.

a) Ta có: \[\widehat {ACM} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

b) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta AMC\] có: \[\widehat {BHA} = \widehat {ACM} = 90^\circ \];

                                               \[\widehat {ABH} = \widehat {AMC}\] (góc nội tiếp chắn cung \[AC\])

Do đó, suy ra \[\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\] (hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {OCA} = \widehat {MAC}\] (\[\Delta OAC\] cân tại \[O\]).

Suy ra \[\widehat {BAH} = \widehat {OCA}\].

c) Do \[N\] là giao điểm của \[AH\] với \[\left( O \right)\] nên \[\widehat {ANM} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \[\widehat {ANM} = \widehat {AHC}\left( { = \widehat {BHA} = 90^\circ } \right)\].

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[MN\parallel BC\].

Do đó, \[BCMN\] là hình thang.

Lại có \[\widehat {BAH} = \widehat {MAC}\] (chứng minh trên) suy ra .

Suy ra \[BN = MN\].

Vậy \[BCMN\] là hình thang cân.