Nếu hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {ay + 1} \right) + y\left( {x - 1} \right) - 3 > 0\\2x + y\left( {by + 2} \right) + 5 \ge 0\end{array} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thì tổng \(a + b\) bằng bao nhiêu?

a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \]

Ta có : \[VT = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = VP\]

b) Tìm điểm M  thỏa mãn: \[\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {OM} \]

Ta có:  \[\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {OM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB} \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MO}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB} \]

Gọi G là trọng tâm của tam giác DCO, khi đó

 \[\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MO}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BO}  = 2\overrightarrow {BK} \] với K là trung điểm của OC.

Vậy \[3\overrightarrow {MG}  = 2\overrightarrow {BK}  \Rightarrow \overrightarrow {MG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \], \[M\] là điểm  thỏa mãn đẳng thức \[\overrightarrow {MG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \].

a) Viết hệ bất phương trình theo \[x,y\].

Gọi:

Từ đề bài, ta có các thông tin sau:

1.Máy M1:

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X, cần 3 giờ làm việc của máy M1.

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại Y, cần 1 giờ làm việc của máy M1.

Máy M1 không làm việc quá 6 giờ mỗi ngày.

Do đó, thời gian sử dụng máy M1 được biểu diễn bằng phương trình: \[3x + 1y \le 6\]

2.Máy M2:

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại X, cần 1 giờ làm việc của máy M2.

Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại Y, cần 1 giờ làm việc của máy M2.

Máy M2 không làm việc quá 4 giờ mỗi ngày.

Thời gian sử dụng máy M2 được biểu diễn bằng phương trình: \[1x + 1y \le 4\]

Ngoài ra, \[x \ge 0\] và \[y \ge 0\] (khối lượng sản phẩm không thể âm).

Hệ bất phương trình là:

\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 1y \le 6\\1x + 1y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\]

b) Biểu diễn miền nghiệm

Miền nghiệm là phần tô đậm trong hình vẽ