PHẦN IV. Tự luận (3.0 điểm).

 (1.5 điểm) Cho hình bình hành \[ABCD\] có tâm O.

a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \].

b) Tìm điểm M  thỏa mãn: \[\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {OM} \].

a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \]

Ta có : \[VT = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = VP\]

b) Tìm điểm M  thỏa mãn: \[\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {OM} \]

Ta có:  \[\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {OM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB} \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MO}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB} \]

Gọi G là trọng tâm của tam giác DCO, khi đó

 \[\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MO}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BO}  = 2\overrightarrow {BK} \] với K là trung điểm của OC.

Vậy \[3\overrightarrow {MG}  = 2\overrightarrow {BK}  \Rightarrow \overrightarrow {MG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \], \[M\] là điểm  thỏa mãn đẳng thức \[\overrightarrow {MG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \].