(1.0 điểm) Một phân xưởng có hai máy chuyên dụng M1 và M2 để sản xuất hai loại sản phẩm X và Y theo đơn đặt hàng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại X, người ta phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại Y, người ta phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Biết rằng máy M1 làm việc không quá 6 giờ một ngày và máy M2 làm việc không quá 4 giờ một ngày.

Gọi \[x,y\] (tấn) theo thứ tự là khối lượng sản phẩm loại X và loại Y sản xuất được trong ngày.

a) Viết hệ bất phương trình theo x, y dựa vào tất cả giả thiết đã cho.

b) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

a) Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \]

Ta có : \[VT = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = VP\]

b) Tìm điểm M  thỏa mãn: \[\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {OM} \]

Ta có:  \[\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {OM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB} \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MO}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB} \]

Gọi G là trọng tâm của tam giác DCO, khi đó

 \[\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MO}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {OB}  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BO}  = 2\overrightarrow {BK} \] với K là trung điểm của OC.

Vậy \[3\overrightarrow {MG}  = 2\overrightarrow {BK}  \Rightarrow \overrightarrow {MG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \], \[M\] là điểm  thỏa mãn đẳng thức \[\overrightarrow {MG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BK} \].

a) Đúng.

b) Sai.

c) Đúng.

Xét đường thẳng \(d:ax + by + 4 = 0\). Vì \(d\)đi qua điểm \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( { - 4;0} \right)\)nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b =  - 1\)

d) Sai.

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\y \ge 0\\x - 2y + 4 \ge 0\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ là tam giác \(AOB\) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;2} \right);B\left( { - 4;0} \right)\).

\({T_{\left( O \right)}} =  - 1;{T_{\left( A \right)}} = 23;{T_{\left( B \right)}} =  - 41\). Vậy \({T_{{\rm{max}}}} = 23\).