Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\) và cạnh \(BC = \sqrt 3 \). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Hai chiếc tàu thủy đậu trên biển tại hai vị trí lần lượt là \(M,N\) cách nhau \(500{\rm{m}}\) và thẳng hàng với điểm \(A\) là chân của một ngọn hải đăng \(AB\). Từ \(M\) và \(N\) người ta nhìn đỉnh \(B\) của tháp lần lượt dưới hai góc: \(\widehat {AMB} = {30^ \circ },\widehat {ANB} = {45^ \circ }\). Chiều cao \(AB\) của tháp là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một lớp học có 45 học sinh, trong đó số học sinh chơi cả hai môn bóng đá và cầu lông bằng \(\frac{1}{6}\) số học sinh chơi bóng đá, số học sinh chơi cầu lông bằng \(\frac{3}{5}\) số học sinh chỉ chơi bóng đá, 13 học sinh không chơi môn nào trong các môn kể trên. Tìm số học sinh chỉ chơi cầu lông.

Để tránh vùng bị ảnh hưởng bởi lũ lụt, người dân muốn di chuyển từ xã \(B\) tới xã \(C\) phải đi qua xã \(A\), dọc theo đường gấp khúc \(BAC\). Biết \(AB = 16{\rm{km}},AC = 12{\rm{km}}\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Lực lượng chức năng phát hiện trên đoạn thẳng \(BC\), tại vị trí điểm \(M\) thỏa mãn \(MC = 3MB\) có tín hiệu pháo sáng được bắn lên. Trực thăng được điều động để di chuyển thẳng từ \(A\) tới \(M\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AM\) (đơn vị \({\rm{km}}\)).

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({\rm{tan}}\alpha = - 2\) và \({0^ \circ } \le \alpha \le {180^ \circ }\). Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{{{\rm{sin}}\alpha + 3{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha + 3{\rm{sin}}\alpha }}\) (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Ông An có 100 hecta đất dự định trồng hai loại cây là dâu tằm và nho. Biết rằng 1 hecta trồng dâu tằm cần 40 công và lãi được 150 triệu đồng, 1 hecta trồng nho cần 80 công và lãi được 200 triệu đồng. Biết rằng tổng số công không vượt quá 5600. Gọi \(x,y\) (hecta) lần lượt là diện tích đất trồng dâu tằm và nho.

(a) Hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 100}\\{ax + by \le 140}\end{array}} \right.\). Tìm \(a,b\).

(b) Dựa vào miền nghiệm của hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán, tìm tổng lợi nhuận lớn nhất ông An có thể thu được từ việc trồng hai loại cây dâu tằm và nho (đơn vị triệu đồng).

Biết \(A = \{ x \in \mathbb{R}\left| {x \le 11\} ,B = \{ x \in \mathbb{R}} \right| - 12 < x \le 25\} \).

(a) Biểu diễn tập hợp \(A\) trên trục số.

(b) Tìm các tập hợp \(A \cap B\) và \(A\backslash B\).

Phần mặt phẳng không bị gạch ở hình vẽ bên (kể cả biên) biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?