Để tránh vùng bị ảnh hưởng bởi lũ lụt, người dân muốn di chuyển từ xã \(B\) tới xã \(C\) phải đi qua xã \(A\), dọc theo đường gấp khúc \(BAC\). Biết \(AB = 16{\rm{km}},AC = 12{\rm{km}}\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Lực lượng chức năng phát hiện trên đoạn thẳng \(BC\), tại vị trí điểm \(M\) thỏa mãn \(MC = 3MB\) có tín hiệu pháo sáng được bắn lên. Trực thăng được điều động để di chuyển thẳng từ \(A\) tới \(M\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AM\) (đơn vị \({\rm{km}}\)).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) để tính độ dài cạnh \(BC\):
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}\widehat {BAC}\)
\(B{C^2} = {16^2} + {12^2} - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ }\)
\(B{C^2} = 256 + 144 - 384 \cdot \frac{1}{2} = 400 - 192 = 208 \Rightarrow BC = \sqrt {208} = 4\sqrt {13} {\rm{\;km}}\)
Theo giả thiết, điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) và \(MC = 3MB \Rightarrow MB = \frac{1}{4}BC = \frac{{4\sqrt {13} }}{4} = \sqrt {13} {\rm{\;km}}\).
Từ tam giác \(ABC\), ta có:
\({\rm{cos}}B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot BC}} = \frac{{{{16}^2} + 208 - {{12}^2}}}{{2 \cdot 16 \cdot 4\sqrt {13} }} = \frac{{256 + 208 - 144}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{{320}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABM\) để tính \(AM\):
\(A{M^2} = A{B^2} + M{B^2} - 2 \cdot AB \cdot MB \cdot {\rm{cos}}B\)
\(A{M^2} = {16^2} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} - 2 \cdot 16 \cdot \sqrt {13} \cdot \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)
\(A{M^2} = 256 + 13 - 16 \cdot 5 = 269 - 80 = 189\)
\( \Rightarrow AM = \sqrt {189} = 3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\)
Vậy độ dài đoạn thẳng \(AM\) là \(3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\) (xấp xỉ \(13,75{\rm{\;km}}\)).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Vì \(\widehat {AMB} = {30^ \circ } < \widehat {ANB} = {45^ \circ }\) nên điểm \(N\) nằm giữa \(A\) và \(M\). Do đó \(MN = AM - AN = 500{\rm{m}}\).
Xét các tam giác vuông \(GAB\) tại \(A\):
Trong tam giác vuông \(GAB\) vuông tại \(A\):
\(AN = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{AB}}{1} = AB\)
\(AM = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}{{30}^ \circ }}} = \frac{{AB}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = AB\sqrt 3 \)
Ta có: \(AM - AN = MN \Rightarrow AB\sqrt 3 - AB = 500\)
\(AB\left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 500 \Rightarrow AB = \frac{{500}}{{\sqrt 3 - 1}} \approx 683,01{\rm{m}}\)
Làm tròn đến hàng đơn vị ta được \(683{\rm{m}}\).
Đáp số: 683
Lời giải
Đáp án:
Vì \({\rm{tan}}\alpha = - 2\) nên \({\rm{cos}}\alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \({\rm{cos}}\alpha \), ta được:
\(P = \frac{{\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} + 3}}{{1 + 3\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}}} = \frac{{{\rm{tan}}\alpha + 3}}{{1 + 3{\rm{tan}}\alpha }}\)
Thay \({\rm{tan}}\alpha = - 2\) vào biểu thức:
\(P = \frac{{ - 2 + 3}}{{1 + 3\left( { - 2} \right)}} = \frac{1}{{1 - 6}} = \frac{1}{{ - 5}} = - 0,2\)
Đáp số: -0,2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập