Hai chiếc tàu thủy đậu trên biển tại hai vị trí lần lượt là \(M,N\) cách nhau \(500{\rm{m}}\) và thẳng hàng với điểm \(A\) là chân của một ngọn hải đăng \(AB\). Từ \(M\) và \(N\) người ta nhìn đỉnh \(B\) của tháp lần lượt dưới hai góc: \(\widehat {AMB} = {30^ \circ },\widehat {ANB} = {45^ \circ }\). Chiều cao \(AB\) của tháp là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) để tính độ dài cạnh \(BC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}\widehat {BAC}\)

\(B{C^2} = {16^2} + {12^2} - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ }\)

\(B{C^2} = 256 + 144 - 384 \cdot \frac{1}{2} = 400 - 192 = 208 \Rightarrow BC = \sqrt {208} = 4\sqrt {13} {\rm{\;km}}\)

Theo giả thiết, điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) và \(MC = 3MB \Rightarrow MB = \frac{1}{4}BC = \frac{{4\sqrt {13} }}{4} = \sqrt {13} {\rm{\;km}}\).

Từ tam giác \(ABC\), ta có:

\({\rm{cos}}B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot BC}} = \frac{{{{16}^2} + 208 - {{12}^2}}}{{2 \cdot 16 \cdot 4\sqrt {13} }} = \frac{{256 + 208 - 144}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{{320}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABM\) để tính \(AM\):

\(A{M^2} = A{B^2} + M{B^2} - 2 \cdot AB \cdot MB \cdot {\rm{cos}}B\)

\(A{M^2} = {16^2} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} - 2 \cdot 16 \cdot \sqrt {13} \cdot \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)

\(A{M^2} = 256 + 13 - 16 \cdot 5 = 269 - 80 = 189\)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {189} = 3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\)

Vậy độ dài đoạn thẳng \(AM\) là \(3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\) (xấp xỉ \(13,75{\rm{\;km}}\)).

Đáp án:

Vì \({\rm{tan}}\alpha = - 2\) nên \({\rm{cos}}\alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \({\rm{cos}}\alpha \), ta được:

\(P = \frac{{\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} + 3}}{{1 + 3\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}}} = \frac{{{\rm{tan}}\alpha + 3}}{{1 + 3{\rm{tan}}\alpha }}\)

Thay \({\rm{tan}}\alpha = - 2\) vào biểu thức:

\(P = \frac{{ - 2 + 3}}{{1 + 3\left( { - 2} \right)}} = \frac{1}{{1 - 6}} = \frac{1}{{ - 5}} = - 0,2\)

Đáp số: -0,2.