Hai chiếc tàu thủy đậu trên biển tại hai vị trí lần lượt là \(M,N\) cách nhau \(500{\rm{m}}\) và thẳng hàng với điểm \(A\) là chân của một ngọn hải đăng \(AB\). Từ \(M\) và \(N\) người ta nhìn đỉnh \(B\) của tháp lần lượt dưới hai góc: \(\widehat {AMB} = {30^ \circ },\widehat {ANB} = {45^ \circ }\). Chiều cao \(AB\) của tháp là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) để tính độ dài cạnh \(BC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}\widehat {BAC}\)

\(B{C^2} = {16^2} + {12^2} - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ }\)

\(B{C^2} = 256 + 144 - 384 \cdot \frac{1}{2} = 400 - 192 = 208 \Rightarrow BC = \sqrt {208} = 4\sqrt {13} {\rm{\;km}}\)

Theo giả thiết, điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) và \(MC = 3MB \Rightarrow MB = \frac{1}{4}BC = \frac{{4\sqrt {13} }}{4} = \sqrt {13} {\rm{\;km}}\).

Từ tam giác \(ABC\), ta có:

\({\rm{cos}}B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot BC}} = \frac{{{{16}^2} + 208 - {{12}^2}}}{{2 \cdot 16 \cdot 4\sqrt {13} }} = \frac{{256 + 208 - 144}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{{320}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABM\) để tính \(AM\):

\(A{M^2} = A{B^2} + M{B^2} - 2 \cdot AB \cdot MB \cdot {\rm{cos}}B\)

\(A{M^2} = {16^2} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} - 2 \cdot 16 \cdot \sqrt {13} \cdot \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)

\(A{M^2} = 256 + 13 - 16 \cdot 5 = 269 - 80 = 189\)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {189} = 3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\)

Vậy độ dài đoạn thẳng \(AM\) là \(3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\) (xấp xỉ \(13,75{\rm{\;km}}\)).

Đáp án:

Gọi số học sinh chơi bóng đá là \(x\) (\(x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).

Số học sinh chơi cả hai môn là: \(\frac{1}{6}x\).

Số học sinh chỉ chơi bóng đálà: \(x - \frac{1}{6}x = \frac{5}{6}x\).

Theo đề bài, số học sinh chơi cầu lông bằng \(\frac{3}{5}\) số học sinh chỉ chơi bóng đá: \(\frac{3}{5} \cdot \left( {\frac{5}{6}x} \right) = \frac{1}{2}x\).

Số học sinh chỉ chơi cầu lôngbằng số học sinh chơi cầu lông trừ đi số học sinh chơi cả hai môn:

\(\frac{1}{2}x - \frac{1}{6}x = \frac{1}{3}x\)

Tổng số học sinh trong lớp là tổng của: số học sinh chỉ chơi bóng đá, số học sinh chỉ chơi cầu lông, số học sinh chơi cả hai môn và số học sinh không chơi môn nào:

\(\frac{5}{6}x + \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 13 = 45\)

\(\left( {\frac{5}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}} \right)x = 45 - 13\)

\(\frac{4}{3}x = 32 \Rightarrow x = 24\)

Số học sinh chỉ chơi cầu lông là: \(\frac{1}{3} \cdot 24 = 8\).

Đáp số: 8