Cho \(c = \sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}\), d = \(\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\). Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.              b) Đúng.                c) Đúng.            d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: c.d = \(\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}\)

                \( = \sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}\)

                \( = \sqrt[3]{{{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}}}\)

                = \(\sqrt[3]{{81 - 80}} = \sqrt[3]{1} = 1\).

b) Đúng.

c³ + d³ = \({\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 = 18\).

c) Đúng.

\({\left( {c + d} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3}\)

\( = {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + 3.\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 + 3.\sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right).\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 18 + 3.\sqrt[3]{{{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}}}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 18 + 3.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)\)

\( = 18 + 3.\left( {c + d} \right)\).

Vậy \({\left( {c + d} \right)^3} = 18 + 3\left( {c + d} \right)\).

d) Sai.

Thay x = c + d, ta có:

(c + d)³ – 3(c + d) – 18 = 0.

Mà từ phần c, có \({\left( {c + d} \right)^3} = 18 + 3\left( {c + d} \right)\) nên thay vào ta được:

18 + 3(c + d) – 3(c + d) – 18 = 0.

Vậy giá trị của biểu thức x = c + d là nghiệm của phương trình x³ – 3x – 18 = 0.