Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh bằng 26 cm và AC : BD = 5 : 12. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Mà tứ giác ABCD là hình thoi nên AC ^ BD tại O và OB = \(\frac{1}{2}\)BD, OC = \(\frac{1}{2}\)AC.

Lại có AC : BD = 5 : 12 nên OB : OC = 5 : 12, suy ra OB \( = \frac{5}{{12}}\)OC.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BOC vuông tại O có:

OB² + OC² = BC², suy ra \(\frac{{25}}{{144}}\)OC² + OC² = 26² nên OC = 24 cm, do đó, OB = 10 cm.

Suy ra: BD = 20 cm, AC = 48 cm.

b) Đúng.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của DABC. Do đó, MN = \(\frac{1}{2}\)AC = 24 cm, MN // AC.

Vì P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD nên PQ là đường trung bình của DADC.

Do đó, PQ = \(\frac{1}{2}\)AC, PQ // AC.

Do đó, MN = PQ, MN // PQ.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của DC, BC nên PN là đường trung bình của DDBC.

Do đó, NP // BD, NP = \(\frac{1}{2}\)BD = 10 cm.

Vì MN // AC, AC ^ BD nên MN ^ BD.

Mà NP // BD nên MN ^ NP, suy ra \(\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ \)

Tứ giác MNPQ có: MN = PQ, MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ \) nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

c) Sai.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MNP vuông tại N ta có:

MP² = MN² + NP² = 676 nên MP = 26 (cm).

d) Sai.

Tứ giác BMDP có: MB // DP, MB = DP (\( = \frac{1}{2}{\rm{AB}}\)) nên tứ giác BMDP là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo MP và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của MP.

Mà tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên O là trung điểm của QN.

Do đó, OM = ON = OP = OQ. Vậy bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm M, N, P, Q là OM = \(\frac{1}{2}\)PM = 13 cm.