Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; 1; 7) và B(5; 5; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0. Điểm M(a; b; c) thuộc (P) sao cho MA = MB = \(\sqrt {35} \) (biết M có hoành độ nguyên). Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy). Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M' và song song với mặt phẳng (P) có dạng: 2x + my + nz + p = 0. Tìm p?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {a - 3;b - 1;c - 7} \right)\) và \(\overrightarrow {BM}  = \left( {a - 5;b - 5;c - 1} \right)\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{MA = MB = \sqrt {35} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (P)}\\{M{A^2} = M{B^2}}\\{M{A^2} = 35}\end{array}} \right.\).

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b - c + 4 = 0}\\{\left( {a - 3} \right){}^2 + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = {{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b - 5} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2}}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a - b - c =  - 4}\\{4a + 8b - 12c =  - 8}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = c}\\{c = a + 2}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = a + 2}\\{c = a + 2}\\{3{a^2} - 14a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 2}\\{c = 2}\end{array}} \right.\) (do M có hoành độ nguyên).

Nên  M(0; 2; 2).

Vì (Q) // (P) nên \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \overrightarrow {n{}_P}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) nên M'(0; 2; 0).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M'(0; 2; 0) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {2; - 1; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 0) – 1(y − 2) – 1(z − 0) = 0 hay 2x – y – z + 2 = 0.

Vậy p = 2.