Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 1,{u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 3} ,\left( {n \ge 1} \right).\)
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Phương pháp giải:

Ta có công thức truy hồi: \({u_1} = 1\), \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 3} \)

Để tìm công thức tổng quát, ta bình phương hai vế: \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 3\).

Đây là một cấp số cộng đối với dãy số \({v_n} = u_n^2\) với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 3\).

Công thức tổng quát của \(u_n^2\) là:  \(u_n^2 = u_1^2 + \left( {n - 1} \right)3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2\)

Giải chi tiết:

Ta có công thức truy hồi: \({u_1} = 1\),  \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 3} \)

Để tìm công thức tổng quát, ta bình phương hai vế: \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 3\).

Đây là một cấp số cộng đối với dãy số \({v_n} = u_n^2\) với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 3\).

Công thức tổng quát của \(u_n^2\) là: \(u_n^2 = u_1^2 + \left( {n - 1} \right)3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2\)

Vậy: \({u_n} = \sqrt {3n - 2} \) (với \(n \in {\mathbb{N}^*}\))

a) Dãy số trên là dãy số tăng.

Xét hiệu: \(u_{n + 1}^2 - u_n^2 = 3 > 0\).

Vì các số hạng của dãy đều dương, nên \(u_{n + 1}^2 > u_n^2 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Mệnh đề này Đúng.

b) Số thứ \(5\) của dãy số là \(7\)

Thay \(n = 5\) vào công thức tổng quát: \({u_5} = \sqrt {3\left( 5 \right) - 2} = \sqrt {15 - 2} = \sqrt {13} \)

Vì \(\sqrt {13} \ne 7\), nên mệnh đề này Sai.

c) \({u_n}\) là số nguyên dương khi và chỉ khi \(3n - 2\) là một số chính phương, tức là tồn tại số nguyên dương \(k\) sao cho \(3n - 2 = {k^2} \Rightarrow n = \frac{{{k^2} + 2}}{3}.\)

Với \(n \le 100\) ta có \({k^2} \le 298 \Rightarrow k \le 17\). Đồng thời \({k^2} \equiv 1\left( {mod3} \right)\) nên \(k\) không chia hết cho \(3.\) Trong các số từ \(1\) đến \(17\) có \(12\) số không chia hết cho \(3\), do đó chỉ có \(12\) giá trị \(n\) thỏa mãn.

Vì vậy, trong \(100\) số đầu tiên của dãy chỉ có \(12\) số nguyên dương, không phải \(17\). Mệnh đề sai.