Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{x}}&{{\rm{khi }}x \ge 1}\\{2x - 1}&{{\rm{khi }}x < 1}\end{array}} \right.\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết F(1) = 2, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Tích phân lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Với x ≥ 1, \(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln x + {C_1}\).
Vì F(1) = 2 nên \(\ln 1 + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2\). Vậy F(x) = lnx + 2.
b) Đúng. Ta tính F(e) = ln e + 2 = 1 + 2 = 3.
c) Sai. Với 0 < x < 1, \(\int {\left( {2x - 1} \right)} dx = {x^2} - x + {C_2}\).
Do F(x) liên tục tại x = 1 nên F(1) = 2 suy ra 12 − 1+ C2 = 2 Þ C2 = 2.
Công thức đúng là F(x) = x2 - x + 2.
d) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, \(\int_{\frac{1}{2}}^e {f(x)} dx = F(e) - F\left( {\frac{1}{2}} \right)\).
Ta có \(F\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} + 2 = 0,25 - 0,5 + 2 = 1,75 = \frac{7}{4}\).
Kết quả tích phân là \(3 - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + {C_1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vì F(2) = 4 C1 = 2. Do đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vì hàm số liên tục trên ℝ nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x - {x^2} + 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}} \right)\) C2 = 6.
Do đó \(F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + 6\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.\).
Vậy F(−2) – 4F(3) = 10 – 4.2 = 2.
</></></>
Câu 2
A. \(I = \frac{{3{e^2} - 1}}{{{e^2}}}\);
B. \(I = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}\);
C. \(I = \frac{{11{e^2} - 11}}{{2{e^2}}}\);
D. \(I = \frac{{7{e^2} + 1}}{{2{e^2}}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {{e^{2x}}dx} + \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx} \)
\( = \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2\)\( = \frac{9}{2} - \frac{1}{{2{e^2}}} = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. 6 + ln4;
B. 4 + ln4;
C. 6 + ln2;
D. 2 + 2ln2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\frac{7}{2}\);
B. 1;
C. \(\frac{5}{2}\);
D. \(\frac{3}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{{31}}{3}\);
B. \(\frac{{28}}{3}\);
C. \(\frac{{22}}{3}\);
D. \(\frac{{26}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập