Trên trục \[Ox,\] cho hai chất điểm chuyển động có tọa độ theo thời gian \(t\) (giây) lần lượt là

\[{s_1} = {\rm{ }}2{\rm{ }}sint\] và \[{s_2} = {\rm{ }}sin2t\] (tham khảo hình vẽ minh họa).

 

Những phương án nào dưới đây đúng?

Giải chi tiết:

Các lựa chọn đúng là \[1,2.\]

1. Xét \({s_1} - {s_2} = 2\sin t - \sin 2t = 2\sin t - 2\sin t\cos t\)

Đặt \(f(t) = 2\sin t - \sin 2t\)

\( \Rightarrow f'(t) = 2\cos t - 2\cos 2t = 2\cos t - 2(2{\cos ^2}t - 1) = - 4{\cos ^2}t + 2\cos t + 2\)

\(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos t = 1}\\{\cos t = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = k2\pi }\\{t = \pm \frac{2}{3}\pi + k2\pi }\end{array}} \right.\)

Do \(t \in [0,4] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{t = \frac{2}{3}\pi }\end{array}} \right.\)

Ta có \(f(0) = 0;f\left( {\frac{2}{3}\pi } \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \approx 2,6;f(4) \approx - 2,5 \Rightarrow {f_{\max }} \approx 2,6\)

Vậy trong \(4\) giây đầu tiên, khoảng cách giữa hai chất điểm lớn nhất là \[2,60\]\( \to \) 1 đúng.

2) \({s_1} = 2\sin t \le 2 \Rightarrow {s_1}\) lớn nhất khi \(\sin t = 1 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{2} \Rightarrow {s_2}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \pi = 0\)

Vậy trong \(2\) giây đầu tiên, khi \({s_1}\) lớn nhất thì \({s_2}\) bằng \[0\; \Rightarrow 2\] đúng.

3) \({s_2} = \sin 2t \le 1\) nên \({s_2}\) lớn nhất khi \(\sin 2t = 1 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{4} \Rightarrow {s_1}\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \)

Vậy trong \(2\) giây đầu tiên, khi \({s_2}\) lớn nhất thì \({s_1}\) bằng \[0\; \Rightarrow 3\] sai.

4) Với \(t \in [0,4]\) xét \(2\sin t = \sin 2t\)

\( \Leftrightarrow 2\sin t = 2\sin t \cdot \cos t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin t = 0}\\{\cos t = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin t = 0 \Leftrightarrow t = k\pi \)

Với \(t \in [0,4]\) nên \(t \in \{ 0,\pi \} \Rightarrow \) chỉ có \(2\) thời điểm để \({s_1}\) và \({s_2}\) bằng au \( \Rightarrow 4\) sai.

Đáp án cần chọn là: A; B