Có hai hộp đựng câu hỏi thi (phiếu), mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có \(15\) phiếu và hộp thứ hai có \(9\) phiếu. Biết rằng sinh viên \(A\) đi thi chỉ thuộc \(10\) câu ở hộp thứ nhất và \(8\) câu ở hộp thứ hai. Thầy giáo rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một phiếu thi, sau đó cho sinh viên \(A\) rút ngẫu nhiên ra \(1\) phiếu từ \(2\) phiếu mà thầy giáo đã rút. Gọi \({E_1}\) là biến cố sinh viên \(A\) rút ra phiếu từ hộp thứ nhất, \({E_2}\) là biến cố sinh viên \(A\) rút ra phiếu từ hộp thứ hai. Những phương án nào dưới đây đúng?

Giải chi tiết:

1. Xác suất của biến cố \({E_1}\) bằng \(\frac{1}{2}\).

2. Gọi \(B\) là biến cố sinh viên \(A\) rút được phiếu đã học thuộc thì \(B = (B \cap {E_1}) \cup (B \cap {E_2})\).

3. Xác suất có điều kiện \(P(B\mid {E_1}) = \frac{8}{9}\).

4. Nếu sinh viên \(A\) rút được phiếu đã học thuộc thì xác suất phiếu đó thuộc hộp thứ nhất bằng \(\frac{3}{7}.\)

Phương pháp:

Cách giải:

Các lựa chọn đúng là \[1,4.\]

1) \({E_1}\) là biến cố sinh viên \(A\) rút ra phiếu từ hộp thứ nhất

Do thầy giáo rút ra \(2\) phiếu trong đó có \(1\) phiếu hộp \(1\) và \(1\) phiếu hộp \(2\) nên xác suất để học sinh \(A\) rút ra phiếu của hộp \(1\) là \(P({E_1}) = \frac{1}{2} \to 1\) đúng.

2) \({E_2}\) là biến cố sinh viên \(A\) rút ra phiếu từ hộp thứ hai, \(B\) là biến cố sinh viên \(A\) rút được phiếu đã học thuộc nên

Ta có \(B = B \cap {E_1}\) là biến cố sinh viên \(A\) rút được phiếu học thuộc từ hộp thứ nhất

\(B = B \cap {E_2}\) là biến cố sinh viên \(A\) rút được phiếu học thuộc từ hộp thứ hai

Vì học sinh \(A\) chỉ rút \(1\) phiếu từ hộp thứ nhất hoặc là hộp thứ \(2\) nên biến cố sinh viên \(B\) học thuộc bài là \(B = (B \cap {E_1}) \cup (B \cap {E_2}) \to 2\) đúng.

3) \(P(B \cap {E_1}) = \frac{{10}}{{15}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

\(P(B \cap {E_2}) = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{9}\)

\( \Rightarrow P(B) = P(B \cap {E_1}) + P(B \cap {E_2}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{7}{9}\)

\( \Rightarrow P(B\mid {E_1}) = \frac{{P(B \cap {E_1})}}{{P({E_1})}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3} \to 3\) sai.

4) Xác suất phiếu thuộc hộp thứ nhất là \(P({E_1}\mid B) = \frac{{P(B \cap {E_1})}}{{P(B)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{7}{9}}} = \frac{3}{7}\) nên \( \to 4\) đúng.

Đáp án cần chọn là: A; B; D