Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng BD2 + AC2 = 2.(AB2 + AD2).

Ta có O là tâm hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC nên (B{O^2} = frac{{B{C^2} + B{A^2}}}{2} - frac{{A{C^2}}}{4} ) Hay 4BO2 = 2(BC2 + BA2) – AC2 (1) Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2BO ( Rightarrow ) BD2 = 4BO2 (1) ( Rightarrow ) BD2 = 2(CB2 + AB2) – AC2 ( Rightarrow ) BD2 + AC2 = 2(CB2 + AB2) ( Rightarrow ) BD2 + AC2 = 2(AB2 + AD2) (do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)

Câu hỏi:

21/06/2026 17

Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng BD² + AC² = 2.(AB² + AD²).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có O là tâm hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC

BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC nên

\(B{O^2} = \frac{{B{C^2} + B{A^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}\)

Hay 4BO² = 2(BC² + BA²) – AC² (1)

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2BO \( \Rightarrow \) BD² = 4BO²

(1) \( \Rightarrow \) BD² = 2(CB² + AB²) – AC²

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(CB² + AB²)

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(AB² + AD²) (do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 60^\circ \), AB = 3 và AC = 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos \widehat A\)

\( = {3^2} + {6^2} - 2.3.6.\cos 60^\circ \)= 27

\( \Rightarrow BC = \sqrt {27} = 3\sqrt 3 \)

Ta thấy \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\) nên tam giác ABC vuông tại B.

Diện tích tam giác ABC là

\(S = AB.BC = 3.3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \).

Nửa chu vi tam giác ABC là

\[p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{3 + 6 + 3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2}\].

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

\[r = \frac{S}{P} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{\frac{{9 + 3\sqrt 3 }}{2}}} = 3\sqrt 3 - 3\].

Câu 2

Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\].

Xem đáp án

Lời giải

Đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] hay \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 5 = 0\]

Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: \[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 5\] là:

d(O; d) = \[\frac{{\left| {\frac{0}{3} + \frac{0}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{30\sqrt {13} }}{{13}}\].

Câu 3