Cho biểu thức \[N = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\]
(a) Rút gọn biểu thức N;
(b) Tính giá trị của N khi \[x = 11 - 6\sqrt 2 \];
(c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
- Rút gọn biểu thức N:
\[N = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}\,\left( {x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9} \right)\]
\[ = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\]
\[ = \frac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 4\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\]
\[ = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\]
b) Ta có: \[x = 11 - 6\sqrt 2 = {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 2 \]
Thay \[\sqrt x = 3 - \sqrt 2 \] vào biểu thức N, ta được:
\[N = \frac{{3 - \sqrt 2 + 1}}{{3 - \sqrt 2 - 3}} = \frac{{4 - \sqrt 2 }}{{ - \sqrt 2 }} = \frac{{ - \sqrt 2 \left( { - 2\sqrt 2 + 1} \right)}}{{ - \sqrt 2 }} = - 2\sqrt 2 + 1\]
Giá trị của N khi \[x = 11 - 6\sqrt 2 \] là \[ - 2\sqrt 2 + 1\].
c) \[N = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 4}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{4}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}\]
Để N nguyên khi \[1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\]
Suy ra \[\sqrt x - 3\] ∈ Ư(4) = {–1; –2; –4; 1; 2; 4}.
Vậy x ∈ {1; 4; 16; 25; 49} để N nguyên
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Xét tam giác ABC có \[\cot B = \sin C = \frac{3}{5}\]
Suy ra \[{\cos ^2}B = \frac{3}{5}.\frac{3}{5} = 0,36\]
Mà cos2B + sin2B = 1 ⇒ sin2B = 1 - = 0,64 ⇔ sinB = 0,8 (vì sinB > 0)
⇒ sinB = cosC = 0,8
Ta có \[\tan C = \frac{{\sin C}}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} C}} = \frac{{0,6}}{{0,8}} = 0,75\]; \[\cot C = \frac{1}{{\tan C}} = \frac{1}{{0,75}} = \frac{4}{3}\]
Vậy \[\sin C = \frac{3}{5};\,\cos C = 0,8;\,\tan C = 0,75;\,\cot C = \frac{4}{3}\].
Lời giải
a) Xét tam giác AHC vuông tại H có: AH2 = AE . AC
Xét tam giác AHB vuông tại H có: AH2 = AD . AB
Suy ra AD.AB = AE.AC (=AH2)
- Xét ∆ABC và ∆AED
Có góc A chung
AD.AB = AE.AC
⇒ ∆ABC và ∆AED (c – g – c)
b) - Xét tứ giác ADHE có
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE = AH.
Mà AH là đường cao trong tam giác ABC
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC: AH2 = HB . HC = 2 . 4,5 = 9
Vậy AH = 3cm = DE.
- Xét tam giác AHB vuông tại H
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc: \[tanB = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{3}{2}\].
Vậy số đo góc \[\widehat {ABC} \approx 56^\circ \]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập