Góc có số đo \(\frac{{2\pi }}{5}{\rm{\;(rad)}}\) đổi sang độ là

Ta có tính chất của hàm số cosin: Với mọi giá trị của biến số \(t\), luôn có: \( - 1 \le {\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\).

Suy ra: \(h\left( t \right) \le 3 \cdot 1 + 10 = 13{\rm{\;(cm)}}\).

Do đó, mực nước đạt độ cao lớn nhất bằng \(13{\rm{\;cm}}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\({\rm{cos}}\left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \).

Nhân cả hai vế với \(\frac{{12}}{\pi }\), ta được: \(t = - 4 + 24k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì thời gian \(t\) tính theo giờ trong một ngày nên ta có điều kiện \(0 \le t \le 24\):

\(0 \le - 4 + 24k \le 24 \Leftrightarrow 4 \le 24k \le 28 \Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{7}{6}\).

Vì \(k\) là số nguyên nên ta chọn được giá trị duy nhất \(k = 1\).

Thay \(k = 1\) vào biểu thức của \(t\), ta được: \(t = - 4 + 24 \cdot 1 = 20\) (giờ).

Kết luận: Mực nước của con kênh đạt độ cao lớn nhất vào lúc 20 giờ trong ngày (tức là 8 giờ tối).

Ta có \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\). Phương trình đã cho tương đương với: \({\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6}} \right)\).

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản đối với hàm côsin, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Trường hợp 2: \(2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình có các họ nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \) với \(k \in \mathbb{Z}\).