Cho biết \({\rm{sin}}\alpha = \frac{3}{5}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Quan sát đường tròn lượng giác, điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ nhất, tạo với trục hoành một góc bằng \(\frac{\pi }{3}\). Do đó, điểm \(M\) biểu diễn cho họ góc lượng giác có số đo là \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \).

Điểm \(N\) nằm đối xứng với điểm \(M\) qua gốc tọa độ \(O\). Khi đó, điểm \(N\) cách điểm \(M\) một nửa đường tròn, tương ứng với một góc \(\pi \). Số đo góc biểu diễn điểm \(N\) là \(x = \frac{\pi }{3} + \pi + k2\pi = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \).

Để gộp hai điểm biểu diễn \(M\) và \(N\) đối xứng nhau qua gốc tọa độ vào cùng một công thức, ta sử dụng chu kỳ \(k\pi \). Công thức tổng quát biểu diễn cho cả hai điểm là: \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn B.

a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta có:

\(S\) là điểm chung thứ nhất: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(O = AC \cap BD\).

Vì \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\).

Vì \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(O\) là điểm chung thứ hai: \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy giao tuyến cần tìm là đường thẳng \(SO\), ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

b) Tìm giao điểm của \(SD\) và \(\left( {AMB} \right)\):

Chọn mặt phẳng phụ chứa \(SD\) là \(\left( {SBD} \right)\). Ta đã biết \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(SO\).

Xét giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\):

\(B\) là điểm chung thứ nhất.

Vì \(K \in AM \subset \left( {AMB} \right)\) và \(K \in SO \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(K\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMB} \right)\) là đường thẳng \(BK\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(BK\) và \(SD\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in SD}\\{I \in BK \subset \left( {AMB} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow I = SD \cap \left( {AMB} \right)\).

c) Chứng minh \(AM,BI,SO\) đồng quy:

Theo kết quả dựng hình ở câu b:

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), ta có \(K = AM \cap SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), ta có \(I = BK \cap SD\), điều này có nghĩa là ba điểm \(B,K,I\) thẳng hàng, hay đường thẳng \(BI\) đi qua điểm \(K\).

Như vậy, cả ba đường thẳng \(AM\), \(SO\), và \(BI\) đều cắt nhau tại cùng một điểm \(K\).

Vậy ba đường thẳng \(AM,BI,SO\) đồng quy tại điểm \(K\).