(2 điểm) Cho \[\cos a = \frac{{ - 3}}{5}\] (với \[90^\circ < a < 180^\circ \]) và \(\cos b = \frac{5}{{13}}\).

Tính giá trị các biểu thức:

\[A = \sin 2a\];              \(B = \cos 2b\);              \(C = \cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right)\).

a) Ta có \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). (1)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AD \cap BC = I\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\I \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\). Suy ra \(Sx = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(Sx\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

c) Trong \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(H = MN \cap AB\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}H \in MN\\H \in AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\). Vậy \(H = MN \cap \left( {ABCD} \right)\).

d) Trong \(\left( {MDH} \right)\), gọi \(O = MK \cap DN\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in MK \subset \left( {SAK} \right)\\O \in DN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (3)

Vì \(E = BD \cap AK\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}E \in AK \subset \left( {SAK} \right)\\E \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (4)

Lại có \(S \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(S,\,E,\,O\) thẳng hàng.

Do đó, \(O \in SE\).

Vậy MK, DN, SE đồng quy tại O.

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_8} + {u_6} - {u_3} = 41\\{u_2} + {u_{10}} = 42\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 7d + {u_1} + 5d - {u_1} - 2d = 41\\{u_1} + d + {u_1} + 9d = 42\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10d = 41\\2{u_1} + 10d = 42\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 4\end{array} \right.\).

b) Ta có \(A = {u_{23}} + {u_{24}} + {u_{25}} + {u_{26}} + ... + {u_{60}} = {S_{60}} - {S_{22}}\).

\({S_{60}} = \frac{{60\left( {2 \cdot 1 + 59 \cdot 4} \right)}}{2} = 7\,140\); \({S_{22}} = \frac{{22\left( {2 \cdot 1 + 21 \cdot 4} \right)}}{2} = 946\).

Vậy \(A = {S_{60}} - {S_{22}} = 7\,140 - 946 = 6194\).