(2 điểm) Tính tổng các nghiệm thuộc nửa khoảng \(\left( { - 2;\,\,3} \right]\) của phương trình sau:

\({\cos ^2}x = \frac{1}{2}\).

a) Ta có \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). (1)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AD \cap BC = I\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\I \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\). Suy ra \(Sx = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\) với \(Sx\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

c) Trong \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(H = MN \cap AB\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}H \in MN\\H \in AB \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\). Vậy \(H = MN \cap \left( {ABCD} \right)\).

d) Trong \(\left( {MDH} \right)\), gọi \(O = MK \cap DN\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}O \in MK \subset \left( {SAK} \right)\\O \in DN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (3)

Vì \(E = BD \cap AK\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}E \in AK \subset \left( {SAK} \right)\\E \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (4)

Lại có \(S \in \left( {SAK} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(S,\,E,\,O\) thẳng hàng.

Do đó, \(O \in SE\).

Vậy MK, DN, SE đồng quy tại O.

Ta có \({\sin ^2}a = 1 - {\cos ^2}a = 1 - {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).

Vì \[90^\circ < a < 180^\circ \] nên \(\sin a > 0\), do đó \(\sin a = \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = \frac{4}{5}\).

Ta có \[A = \sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{{ - 3}}{5} = \frac{{ - 24}}{{25}}\];

\(B = \cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = 2 \cdot {\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} - 1 = - \frac{{119}}{{169}}\).

Lại có \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2 \cdot {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} - 1 = - \frac{7}{{25}}\);

Khi đó, \(C = \cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right) = \frac{1}{2}\left( { - \frac{7}{{25}} + \frac{{ - 119}}{{169}}} \right) = - \frac{{2079}}{{4225}}\).