Lúc \(12\) giờ, kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ trùng nhau. Hỏi từ lúc đó đến khi hai kim trùng nhau lần đầu tiên, kim phút quay được một góc lượng giác bao nhiêu radian?

a) Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow \cos x =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{4}{5}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} < x < \pi  \Rightarrow \cos x =  - \frac{4}{5}\).

Ta có: \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos x\cos \frac{\pi }{3} + \sin x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{ - 4 + 3\sqrt 3 }}{{10}}\).

b) \(VT = \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} + \frac{{1 + \cos x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\sin x}} = \frac{{2 + 2\cos x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\sin x}}{\rm{ = }}\frac{2}{{\sin x}} = VP\)

a) Ta có \[S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right)\] \[\left( 1 \right)\]

Trong \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \(F = AB \cap CD\)

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in AB,AB \subset \left( {SAB} \right)\\F \in CD,CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\] \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] suy ra \[\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SF\].

b) Tìm giao điểm \[I\]của \[BG\]với \[\left( {SAC} \right)\].

Gọi \[J\]là trung điểm\[AD\]. Chọn mp\(\left( {SBJ} \right)\) chứa \(BG\).

Ta có:\(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBJ} \right)\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(H = AC \cap BJ\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in AC,AC \subset \left( {SAC} \right)\\H \in BJ,BJ \subset \left( {SBJ} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBJ} \right)\)

Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBJ} \right) = SH\)

Trong \(\left( {SBJ} \right)\), gọi \(I = BG \cap SH\)

\[\left\{ \begin{array}{l}I \in BG\\I \in SH,SH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = BG \cap \left( {SAC} \right).\]

c) Tìm giao tuyến của \[\left( {MNG} \right)\] với\[\left( {SBD} \right)\]

Trong mp\[(ABCD):K = BD \cap CJ\,\,;\,\,(SJC):L = SK \cap GN\]và\[BD\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}L \in SK,SK \subset \left( {SBD} \right)\\L \in NG,NG \subset \left( {MNG} \right)\end{array} \right. \Rightarrow L \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {MNG} \right)\] (3)

Trong mp\[(SJC):NG \cap CJ\, = P\,\].

Trong mp\[(ABCD):MP \cap BD = R\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}R \in BD,BD \subset \left( {SBD} \right)\\R \in MP,MP \subset \left( {MNG} \right)\end{array} \right. \Rightarrow R \in \left( {SBD} \right) \cap \left( {MNG} \right)\] (4)

Từ (3), (4) suy ra \[\left( {MNG} \right) \cap \left( {SBD} \right) = LR\]