Cho góc lượng giác \(x \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) và có \({\rm{sin}}x = \frac{1}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(A = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

_____

Xét hình vuông cạnh \(x\). Khi chia cạnh thành 4 phần bằng nhau, độ dài mỗi đoạn nhỏ là \(\frac{x}{4}\). Theo quy tắc nối để tạo hình vuông mới nhỏ hơn bên trong, các đỉnh của hình vuông mới sẽ chia cạnh của hình vuông cũ theo tỉ lệ \(1:3\) (một đoạn là \(\frac{x}{4}\) và đoạn còn lại là \(\frac{{3x}}{4}\)).

Áp dụng định lý Pythagore để tính cạnh hình vuông mới (\(x{\rm{'}}\)):

      \({\left( {x{\rm{'}}} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{4}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3x}}{4}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{9{x^2}}}{{16}} = \frac{{10}}{{16}}{x^2} = \frac{5}{8}{x^2}\).

Vì diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh, gọi \({S_n}\) là diện tích hình vuông thứ \(n\), ta có mối liên hệ: \({S_{n + 1}} = \frac{5}{8}{S_n}\).

Do đó, diện tích các hình vuông lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là diện tích hình vuông \({a_1}\): \({S_1} = {40^2} = 1600\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\) và công bội là \(q = \frac{5}{8} = 0,625\).

Diện tích của hình vuông thứ 20 (\({S_{20}}\)) là: \(a = {S_{20}} = {S_1} \cdot {q^{19}} = 1600 \cdot {\left( {0,625} \right)^{19}} \approx 0,21176\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Làm tròn đến hàng phần trăm: \(a \approx 0,21\).

Đáp số: 0,21.

Nhận xét \({u_n} > 0\) với mọi \(n\). Nghịch đảo hai vế của công thức truy hồi ta được:

      \(\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2\).

Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\), ta có \({v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = 1\) và \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2\).

Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai \(d = 2\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1\).

Biểu thức \(T\) chính là tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\):

      \(T = {S_{50}} = \frac{{50 \cdot \left( {{v_1} + {v_{50}}} \right)}}{2} = 25 \cdot \left( {1 + \left( {2 \cdot 50 - 1} \right)} \right) = 25 \cdot \left( {1 + 99} \right) = 25 \cdot 100 = 2500\).

Đáp số: 2500.