Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song với nhau. Giao điểm của \(AC\) và \(BD\) là \(O\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\).

Rút gọn biểu thức lượng giác dựa vào tính chất tuần hoàn:

\({\rm{sin}}\left( {x + 2025\pi } \right) = {\rm{sin}}\left( {x + \pi  + 1012 \cdot 2\pi } \right) = {\rm{sin}}\left( {x + \pi } \right) =  - {\rm{sin}}x\);

\({\rm{tan}}\left( {2025\pi  - x} \right) = {\rm{tan}}\left( { - x} \right) =  - {\rm{tan}}x\).

Do đó biểu thức \(T\) trở thành: \(T =  - 9{\rm{sin}}x - \sqrt 3 {\rm{tan}}x =  - 9{\rm{sin}}x - \sqrt 3 \frac{{{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cos}}x}} = {\rm{sin}}x\left( { - 9 - \frac{{\sqrt 3 }}{{{\rm{cos}}x}}} \right)\).

Vì \( - \pi  < x <  - \frac{\pi }{2}\) (góc thuộc góc phần tư thứ III) nên \({\rm{sin}}x < 0\).

\({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = 1 - \frac{3}{9} = \frac{2}{3} \Rightarrow {\rm{sin}}x =  - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

Thay \({\rm{sin}}x\) và \({\rm{cos}}x\) vào biểu thức \(T\):

\(T = \left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right) \cdot \left[ { - 9 - \frac{{\sqrt 3 }}{{ - \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}} \right] = \left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right) \cdot \left[ { - 9 + 3} \right] = \left( { - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 2\sqrt 6  \approx 4,90\).

Kết quả: \(4,90\).

Ta có hệ thức: \(1 + {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + {2^2} = \frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} \Rightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = \frac{1}{5}\).

Vì \(180^\circ  < \alpha  < 270^\circ \) (góc thuộc góc phần tư thứ III) nên \({\rm{cos}}\alpha  < 0\) và \({\rm{sin}}\alpha  < 0\). Do đó:

\({\rm{cos}}\alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt 5 }} =  - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Mặt khác, từ \({\rm{tan}}\alpha  = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha  = {\rm{tan}}\alpha  \cdot {\rm{cos}}\alpha \):

\({\rm{sin}}\alpha  = 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{5}} \right) =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Giá trị của biểu thức cần tìm là:

\({\rm{cos}}\alpha  + {\rm{sin}}\alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{5} + \left( { - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right) =  - \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\).

Chọn A.