PHẦN II. TỰ LUẬN (5,0 điểm)

(1.0 điểm). Cho \[\sin \alpha = - \frac{4}{5};\,\] với \[\, - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le 0.\]Tính giá trị của biểu thức \[T = 4\cot 2\alpha + \frac{{25}}{3}\cos 2\alpha \].

a) \[2\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \pi  + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\]

Giải được \[x =  - \frac{\pi }{{12}} + k\pi ;\,x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Kết luận.

b) \[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{6} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{6} =  - x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] . Kết luận.

c) \[\cos x - \sqrt 3 \sin x =  - \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x = \pi  + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} - k2\pi \\x =  - \frac{{13\pi }}{{12}} - k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Kết luận.

Ta có \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x\)

Phương trình trở thành \(8{\cos ^2}4x + 3\cos 4x = 8m + 3\)

Đặt \(t = \cos 4x,\) với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) nên \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Khi đó phương trình trở thành \(8{t^2} + 3t = 8m + 3\,\,\,(*)\)

Ứng với mỗi \(t \in {\rm{[}} - 1;1)\) thì phương trình \(\cos 4x = t\) sẽ có ta hai giá trị của \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\)

Với \(t = 1\) thì phương trình \(\cos 4x = t\) cho ta đúng một giá trị của \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\)

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm \(t\) phân biệt thuộc \({\rm{[}} - 1;1)\).

Xét hàm \(f(t) = 8{t^2} + 3t\) trên \({\rm{[}} - 1;1)\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán

\( \Leftrightarrow  - \frac{9}{{32}} < 8m + 3 \le 5 \Leftrightarrow  - \frac{{105}}{{256}} < m \le \frac{1}{4}\). Kết luận.