(0,5 điểm) Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí \(A\) và \(B\) cách nhau \(4{\rm{\;km}}\). Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí \(C\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng \(4{\rm{\;km}}\). Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước \(C\) đến một vị trí \(I\) thuộc đoạn thẳng \(CM\), sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy \(A\) và \(B\). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Chọn hệ trục tọa độ sao cho \(M\) là gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\), đường thẳng \(AB\) trùng với trục hoành \(Ox\), đường thẳng \(CM\) trùng với trục tung \(Oy\).

Do \(AB = 4{\rm{\;km}}\) và \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(A\left( { - 2;0} \right)\) và \(B\left( {2;0} \right)\).

Điểm \(C\) nằm trên \(Oy\) và cách \(M\) một khoảng \(4{\rm{\;km}}\) về phía dương nên \(C\left( {0;4} \right)\).

Điểm \(I\) thuộc đoạn thẳng \(CM\) nên \(I\) có tọa độ dạng \(I\left( {0;y} \right)\) với \(0 \le y \le 4\).

Khi đó, tổng độ dài đường ống dẫn nước là: \(L = IC + IA + IB\).

Vì \(I\) thuộc \(Oy\) và \(A,B\) đối xứng qua \(Oy\) nên \(IA = IB = \sqrt {{2^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2} + 4} \).

Độ dài đoạn \(IC = 4 - y\).

Vậy hàm tổng độ dài là: \(L\left( y \right) = 4 - y + 2\sqrt {{y^2} + 4} ,y \in \left[ {0;4} \right]\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

\(L'\left( y \right) = - 1 + 2 \cdot \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + 4} }} = \frac{{2y - \sqrt {{y^2} + 4} }}{{\sqrt {{y^2} + 4} }}\);

\(L'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow 2y = \sqrt {{y^2} + 4} \Leftrightarrow 4{y^2} = {y^2} + 4{\rm{\;(}}y \ge 0{\rm{)}}\)\( \Leftrightarrow 3{y^2} = 4 \Leftrightarrow y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Tính giá trị của \(L\left( y \right)\) tại các điểm mốc:

Tại biên \(y = 0\): \(L\left( 0 \right) = 4 - 0 + 2\sqrt {0 + 4} = 4 + 4 = 8{\rm{\;km}}\).

Tại biên \(y = 4\): \(L\left( 4 \right) = 4 - 4 + 2\sqrt {{4^2} + 4} = 2\sqrt {20} = 4\sqrt 5 \approx 8,94{\rm{\;km}}\).

Tại điểm tới hạn \(y = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\):

\(L\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = 4 - \frac{2}{{\sqrt 3 }} + 2\sqrt {\frac{4}{3} + 4} = 4 - \frac{2}{{\sqrt 3 }} + 2\sqrt {\frac{{16}}{3}} = 4 - \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \frac{8}{{\sqrt 3 }} = 4 + \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 4 + 2\sqrt 3 \)\( \approx 7,4641{\rm{\;km}}\).

So sánh các giá trị, ta thấy tổng độ dài nhỏ nhất là \(4 + 2\sqrt 3 {\rm{\;km}}\).

Làm tròn đến hàng phần trăm: \(7,46{\rm{\;km}}\).

Vậy tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng \(7,46{\rm{\;km}}\).