Khi sản xuất vỏ lon sữa hãng X, nhà sản xuất luôn đặt tiêu chí sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất. Biết rằng lon sữa có dạng hình trụ và có dung tích là \(500{\rm{\;ml}}\). Chiều cao của lon sữa bằng bao nhiêu centimet để chi phí vật liệu dùng để sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Kết quả: ____

Ta phân tích vectơ \(\overrightarrow {C'G} \) theo các vectơ cơ sở \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} \) ta được: \(\overrightarrow {C'G} = \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {CG} = - \overrightarrow {AA'} + \left( {\overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AC} } \right)\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên với điểm \(A\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Thay vào biểu thức trên: \(\overrightarrow {C'G} = - \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} \).

Đồng nhất hệ số với \(m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} + p\overrightarrow {AA'} \), ta được: \(m = \frac{1}{3},n = - \frac{2}{3},p = - 1\).

Giá trị biểu thức: \(4m - n + 5p = 4 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right) - \left( { - \frac{2}{3}} \right) + 5 \cdot \left( { - 1} \right) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 5 = 2 - 5 = - 3\).

Kết quả: \( - 3\).

a) Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) (tính chất đường chéo hình vuông) và \(N\) là trung điểm của \(SC\) nên \(ON\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\).

Do đó \(\overrightarrow {ON} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \).

Ta có \(\overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {CD} \).

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \). Do đó \(\overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {BA} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2} \cdot AS \cdot AB \cdot {\rm{cos}}\widehat {SAB}\).

Xét tam giác \(SAB\) có \(SA = SB = 6\) và \(AB = 4\). Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(SAB\):

\({\rm{cos}}\widehat {SAB} = \frac{{A{S^2} + A{B^2} - S{B^2}}}{{2 \cdot AS \cdot AB}} = \frac{{{6^2} + {4^2} - {6^2}}}{{2 \cdot 6 \cdot 4}} = \frac{{16}}{{48}} = \frac{1}{3}\).

Thay vào biểu thức tích vô hướng: \(\overrightarrow {ON} \cdot \overrightarrow {CD} = - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \frac{1}{3} = - 4\).

b) Ta có \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\) nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \) và \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \).

Do đó: \(\vec u = 4\overrightarrow {SO} \). Suy ra \(\left| {\vec u} \right| = 4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO\).

Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(4 \Rightarrow BD = 4\sqrt 2 \Rightarrow OD = 2\sqrt 2 \).

Xét tam giác vuông \(SOD\) tại \(O\) có: \(SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {{6^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {28} = 2\sqrt 7 \).

Vậy \(\left| {\vec u} \right| = 4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO = 8\sqrt 7 \approx 21,2\).