PHẦN IV. Tự luận (3 điểm)

(1,5 điểm) Một vật chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang chiều dương hướng sang phải sao cho toạ độ của vật (đơn vị: mét) tại thời điểm \(t\) (giây) là \(s\left( t \right) = - {t^3} + 6{t^2} - 9t + 3\), \(t \ge 0\).

a) Tìm hàm vận tốc tức thời của vật.

b) Tìm vận tốc tức thời lớn nhất của vật trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) giây đến \(t = 5\) giây.

c) Tìm quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(t = 0\) giây đến \(t = 5\) giây.

a) Hàm vận tốc tức thời \(v\left( t \right)\) là đạo hàm bậc nhất của hàm vị trí \(s\left( t \right)\) nên \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t - 9\).

b) Tìm vận tốc lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\):

Hàm số \(v\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t - 9\) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

Đạo hàm của vận tốc: \(v'\left( t \right) = - 6t + 12\). Ta có \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \in \left[ {0;5} \right]\).

Tính các giá trị tại biên và tại đỉnh:

\(v\left( 0 \right) = - 9{\rm{\;m/s}}\); \(v\left( 2 \right) = - 3 \cdot {2^2} + 12 \cdot 2 - 9 = 3{\rm{\;m/s}}\); \(v\left( 5 \right) = - 3 \cdot {5^2} + 12 \cdot 5 - 9 = - 24{\rm{\;m/s}}\).

Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của vật trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 5\) giây là \(3{\rm{\;m/s}}\) (đạt được tại \(t = 2\) giây).

c) Để tính quãng đường vật đi được, ta cần chú ý xem vật có đổi chiều chuyển động hay không bằng cách xét dấu của vận tốc \(v\left( t \right)\), ta có: \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 12t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) hoặc \(t = 3\).

Trong khoảng thời gian \(\left[ {0;5} \right]\), vật đổi chiều tại hai thời điểm \(t = 1\) và \(t = 3\).

Trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\): \(v\left( t \right) < 0\) (vật đi ngược chiều dương).

Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\): \(v\left( t \right) > 0\) (vật đi theo chiều dương).

Trên khoảng \(\left( {3;5} \right)\): \(v\left( t \right) < 0\) (vật đi ngược chiều dương).

Quãng đường tổng cộng vật đi được tính bằng tổng trị tuyệt đối các hiệu vị trí:

\(S = \left| {s\left( 1 \right) - s\left( 0 \right)} \right| + \left| {s\left( 3 \right) - s\left( 1 \right)} \right| + \left| {s\left( 5 \right) - s\left( 3 \right)} \right|\)

Ta tính các giá trị vị trí tại các mốc thời gian: \(s\left( 0 \right) = 3\); \(s\left( 1 \right) = - {1^3} + 6 \cdot {1^2} - 9 \cdot 1 + 3 = - 1\);

\(s\left( 3 \right) = - {3^3} + 6 \cdot {3^2} - 9 \cdot 3 + 3 = 3\); \(s\left( 5 \right) = - {5^3} + 6 \cdot {5^2} - 9 \cdot 5 + 3 = - 17\).

Do đó: \(S = \left| { - 1 - 3} \right| + \left| {3 - \left( { - 1} \right)} \right| + \left| { - 17 - 3} \right| = \left| { - 4} \right| + \left| 4 \right| + \left| { - 20} \right| = 4 + 4 + 20 = 28{\rm{\;m}}\).

Vậy quãng đường vật đi được là \(28{\rm{\;m}}\).