(1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng 4, cạnh bên bằng 6, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(N\) là trung điểm của cạnh \(SC\).

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {ON} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

b) Tính độ dài của vectơ \(\vec u = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} \) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Dung tích của lon sữa \(V = 500{\rm{\;ml}} = 500{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\).

Gọi \(r\) là bán kính đáy và \(h\) là chiều cao của lon sữa (\(r,h > 0\)).

Ta có công thức thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}h = 500 \Rightarrow h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\).

Để chi phí sản xuất nhỏ nhất thì diện tích toàn phần của lon sữa phải nhỏ nhất:

\({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r \cdot \frac{{500}}{{\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r}\)

Xét hàm số \(S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(S'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{1000}}{{{r^2}}}\); \(S'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow 4\pi {r^3} = 1000 \Leftrightarrow {r^3} = \frac{{250}}{\pi } \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{250}}{\pi }}}\).

Khi đó, chiều cao tương ứng đạt giá trị tối ưu là: \(h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{2 \cdot 250}}{{\pi \cdot {{\left( {\frac{{250}}{\pi }} \right)}^{2/3}}}} = 2 \cdot {\left( {\frac{{250}}{\pi }} \right)^{1/3}} = 2r\).

Tính giá trị của \(h\): \(h = 2 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{250}}{\pi }}} \approx 8,6025{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Làm tròn đến hàng phần mười ta được \(8,6{\rm{\;cm}}\).

Kết quả: \(8,6\).

Ta phân tích vectơ \(\overrightarrow {C'G} \) theo các vectơ cơ sở \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} \) ta được: \(\overrightarrow {C'G} = \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {CG} = - \overrightarrow {AA'} + \left( {\overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AC} } \right)\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên với điểm \(A\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Thay vào biểu thức trên: \(\overrightarrow {C'G} = - \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} \).

Đồng nhất hệ số với \(m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} + p\overrightarrow {AA'} \), ta được: \(m = \frac{1}{3},n = - \frac{2}{3},p = - 1\).

Giá trị biểu thức: \(4m - n + 5p = 4 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right) - \left( { - \frac{2}{3}} \right) + 5 \cdot \left( { - 1} \right) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 5 = 2 - 5 = - 3\).

Kết quả: \( - 3\).