(0,5 điểm) Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí \(A\) và \(B\) cách nhau \(4{\rm{\;km}}\). Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí \(C\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng \(4{\rm{\;km}}\). Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước \(C\) đến một vị trí \(I\) thuộc đoạn thẳng \(CM\), sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy \(A\) và \(B\). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Dung tích của lon sữa \(V = 500{\rm{\;ml}} = 500{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}\).

Gọi \(r\) là bán kính đáy và \(h\) là chiều cao của lon sữa (\(r,h > 0\)).

Ta có công thức thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}h = 500 \Rightarrow h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}}\).

Để chi phí sản xuất nhỏ nhất thì diện tích toàn phần của lon sữa phải nhỏ nhất:

\({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r \cdot \frac{{500}}{{\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r}\)

Xét hàm số \(S\left( r \right) = 2\pi {r^2} + \frac{{1000}}{r}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(S'\left( r \right) = 4\pi r - \frac{{1000}}{{{r^2}}}\); \(S'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow 4\pi {r^3} = 1000 \Leftrightarrow {r^3} = \frac{{250}}{\pi } \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{250}}{\pi }}}\).

Khi đó, chiều cao tương ứng đạt giá trị tối ưu là: \(h = \frac{{500}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{2 \cdot 250}}{{\pi \cdot {{\left( {\frac{{250}}{\pi }} \right)}^{2/3}}}} = 2 \cdot {\left( {\frac{{250}}{\pi }} \right)^{1/3}} = 2r\).

Tính giá trị của \(h\): \(h = 2 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{250}}{\pi }}} \approx 8,6025{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Làm tròn đến hàng phần mười ta được \(8,6{\rm{\;cm}}\).

Kết quả: \(8,6\).

Ta phân tích vectơ \(\overrightarrow {C'G} \) theo các vectơ cơ sở \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AA'} \) ta được: \(\overrightarrow {C'G} = \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {CG} = - \overrightarrow {AA'} + \left( {\overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AC} } \right)\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên với điểm \(A\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {AG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Thay vào biểu thức trên: \(\overrightarrow {C'G} = - \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} \).

Đồng nhất hệ số với \(m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} + p\overrightarrow {AA'} \), ta được: \(m = \frac{1}{3},n = - \frac{2}{3},p = - 1\).

Giá trị biểu thức: \(4m - n + 5p = 4 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right) - \left( { - \frac{2}{3}} \right) + 5 \cdot \left( { - 1} \right) = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 5 = 2 - 5 = - 3\).

Kết quả: \( - 3\).