Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{\rm{cos}}x + {m^2} + 3m}}{{{\rm{cos}}x + 2}}\) (\(m\) là tham số thực). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(M\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn \(M \le - 1\)?
Đáp số: __
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(t = {\rm{cos}}x\). Với \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Bài toán trở thành tìm \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{t + {m^2} + 3m}}{{t + 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) nhỏ hơn hoặc bằng \( - 1\).
Đạo hàm theo biến \(t\): \(g'\left( t \right) = \frac{{2 - \left( {{m^2} + 3m} \right)}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\).
Do \(g\left( t \right)\) là hàm phân thức bậc nhất nên nó đơn điệu trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Giá trị lớn nhất của nó chỉ có thể đạt được tại một trong hai đầu mút \(t = - 1\) hoặc \(t = 1\).
Do đó, điều kiện \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{_{\left[ { - 1;1} \right]}} g\left( t \right) \le - 1\) tương đương với hệ điều kiện đồng thời:
\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) \le - 1\\g\left( 1 \right) \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1 + {m^2} + 3m}}{{ - 1 + 2}} \le - 1\\\frac{{1 + {m^2} + 3m}}{{1 + 2}} \le - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 1 \le - 1\\{m^2} + 3m + 1 \le - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m \le 0\\{m^2} + 3m + 4 \le 0{\rm{\;(v\^o \;nghiem\;v\`i \;}}\Delta < 0{\rm{)}}\end{array} \right.\)
Do phương trình \({m^2} + 3m + 4 \le 0\) vô nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\), nên không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp số: 0.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt \(BM = x\) (km), điều kiện \(0 \le x \le 10\).
Khi đó độ dài đoạn thẳng trên biển là: \(MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 16} \) (km).
Độ dài đoạn dây trên đất liền là: \(AM = AB - BM = 10 - x\) (km).
Tổng chi phí lắp đặt (đơn vị: triệu đồng) là: \(T\left( x \right) = 50 \cdot \sqrt {{x^2} + 16} + 30 \cdot \left( {10 - x} \right)\).
Tính đạo hàm của \(T\left( x \right)\): \(T'\left( x \right) = 50 \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} - 30\).
Cho \(T'\left( x \right) = 0\): \(\frac{{50x}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = 30 \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 16} \Leftrightarrow 25{x^2} = 9\left( {{x^2} + 16} \right)\)
\( \Leftrightarrow 16{x^2} = 144 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3{\rm{\;(do\;}}x \ge 0{\rm{)}}\).
Lập bảng biến thiên, ta thấy \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3\).
Vậy khoảng cách \(BM = 3\) km.
Đáp số: 3.
Lời giải
Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 12x - 15\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\).
Vì hệ số \(a = 1 > 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x = - 5\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Giá trị cực tiểu của hàm số thu được bằng cách thay \(x = 1\) vào phương trình ban đầu:
\({y_{ct}} = y\left( 1 \right) = {1^3} + 6 \cdot {1^2} - 15 \cdot 1 + 2033 = 1 + 6 - 15 + 2033 = 2025\).
Đáp số: 2025.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(y = x + 1\).
B. \(y = x + 2\).
C. \(y = x - 2\).
D. \(y = x - 3\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập