Tính tổng các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {3m + 4} \right)x + 2025\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Đáp số: ___
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {3m + 4} \right) = 3\left( {{x^2} - 2mx + 3m + 4} \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 3m + 4 \ge 0,\forall x > 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4 \ge m\left( {2x - 3} \right),\forall x > 2\).
Vì \(x > 2 \Rightarrow 2x - 3 > 0\), ta cô lập được \(m\): \(m \le \frac{{{x^2} + 4}}{{2x - 3}},\forall x > 2\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{{2x - 3}}\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\):
\(g'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 6x - 8}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\);
\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \in \left( {2; + \infty } \right)\\x = - 1 \notin \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).
Vẽ bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) cho thấy hàm số giảm từ \(g\left( 2 \right) = 8\) xuống cực tiểu tại \(g\left( 4 \right) = \frac{{16 + 4}}{{8 - 3}} = 4\), sau đó tăng lên \( + \infty \).
Do đó, để \(m \le g\left( x \right)\) với mọi \(x > 2\) thì \(m \le \mathop {{\rm{min}}}\limits_{_{\left( {2; + \infty } \right)}} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \le 4\).
Yêu cầu bài toán tìm các giá trị nguyên dương của \(m\), nên \(m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).
Tổng các giá trị này là: \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\).
Đáp số: 10.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đặt \(BM = x\) (km), điều kiện \(0 \le x \le 10\).
Khi đó độ dài đoạn thẳng trên biển là: \(MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 16} \) (km).
Độ dài đoạn dây trên đất liền là: \(AM = AB - BM = 10 - x\) (km).
Tổng chi phí lắp đặt (đơn vị: triệu đồng) là: \(T\left( x \right) = 50 \cdot \sqrt {{x^2} + 16} + 30 \cdot \left( {10 - x} \right)\).
Tính đạo hàm của \(T\left( x \right)\): \(T'\left( x \right) = 50 \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} - 30\).
Cho \(T'\left( x \right) = 0\): \(\frac{{50x}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = 30 \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 16} \Leftrightarrow 25{x^2} = 9\left( {{x^2} + 16} \right)\)
\( \Leftrightarrow 16{x^2} = 144 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3{\rm{\;(do\;}}x \ge 0{\rm{)}}\).
Lập bảng biến thiên, ta thấy \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3\).
Vậy khoảng cách \(BM = 3\) km.
Đáp số: 3.
Lời giải
Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 12x - 15\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\).
Vì hệ số \(a = 1 > 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x = - 5\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Giá trị cực tiểu của hàm số thu được bằng cách thay \(x = 1\) vào phương trình ban đầu:
\({y_{ct}} = y\left( 1 \right) = {1^3} + 6 \cdot {1^2} - 15 \cdot 1 + 2033 = 1 + 6 - 15 + 2033 = 2025\).
Đáp số: 2025.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(P\left( {2; - 1} \right)\).
B. \(Q\left( {1;3} \right)\).
C. \(M\left( {1; - 2} \right)\).
D. \(N\left( {3;2} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập