Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{\rm{cos}}x + {m^2} + 3m}}{{{\rm{cos}}x + 2}}\) (\(m\) là tham số thực). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) là \(M\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn \(M \le - 1\)?
Đáp số: __
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đặt \(t = {\rm{cos}}x\). Với \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Bài toán trở thành tìm \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{t + {m^2} + 3m}}{{t + 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) nhỏ hơn hoặc bằng \( - 1\).
Đạo hàm theo biến \(t\): \(g'\left( t \right) = \frac{{2 - \left( {{m^2} + 3m} \right)}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\).
Do \(g\left( t \right)\) là hàm phân thức bậc nhất nên nó đơn điệu trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Giá trị lớn nhất của nó chỉ có thể đạt được tại một trong hai đầu mút \(t = - 1\) hoặc \(t = 1\).
Do đó, điều kiện \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{_{\left[ { - 1;1} \right]}} g\left( t \right) \le - 1\) tương đương với hệ điều kiện đồng thời:
\(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) \le - 1\\g\left( 1 \right) \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1 + {m^2} + 3m}}{{ - 1 + 2}} \le - 1\\\frac{{1 + {m^2} + 3m}}{{1 + 2}} \le - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 1 \le - 1\\{m^2} + 3m + 1 \le - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m \le 0\\{m^2} + 3m + 4 \le 0{\rm{\;(v\^o \;nghiem\;v\`i \;}}\Delta < 0{\rm{)}}\end{array} \right.\)
Do phương trình \({m^2} + 3m + 4 \le 0\) vô nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\), nên không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp số: 0.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Sau ba ngày kể từ thời điểm ngày phát hành đầu tiên, số áo được bán ra vượt quá 2000 chiếc.
b. Tổng số áo được bán ra không vượt quá 7000 chiếc.
c. Ngay tại thời điểm ngày phát hành đầu tiên, số áo được bán ra đã đạt 100 chiếc.
d. Đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ phát hành. Sau 360 giờ kể từ thời điểm phát hành đầu tiên thì tốc độ phát hành là lớn nhất.
Lời giải
a) Sai. Sau 3 ngày (\(t = 3\)), số áo bán được là: \(f\left( 3 \right) = \frac{{7000}}{{1 + 69{e^{ - 3}}}} \approx 1578\) (chiếc), không vượt quá 2000 chiếc.
b) Đúng. Vì \(t \ge 0 \Rightarrow {e^{ - t}} > 0 \Rightarrow 1 + 69{e^{ - t}} > 1\), do đó \(f\left( t \right) = \frac{{7000}}{{1 + 69{e^{ - t}}}} < 7000\).
Khi \(t \to + \infty \), \(f\left( t \right) \to 7000\). Vậy tổng số áo bán ra không bao giờ vượt quá 7000 chiếc.
c) Đúng. Tại thời điểm ban đầu (\(t = 0\)): \(f\left( 0 \right) = \frac{{7000}}{{1 + 69{e^0}}} = \frac{{7000}}{{1 + 69}} = \frac{{7000}}{{70}} = 100\) (chiếc).
d) Sai. Tốc độ phát hành được biểu thị bởi \(f'\left( t \right)\). Tốc độ này lớn nhất tại điểm uốn của đường cong logistic, xảy ra khi: \(1 + 69{e^{ - t}} = 2 \Leftrightarrow 69{e^{ - t}} = 1 \Leftrightarrow {e^t} = 69 \Leftrightarrow t = {\rm{ln}}\left( {69} \right) \approx 4,234{\rm{\;ng\`a y}}\).
Đổi ra giờ: \(4,234 \times 24 \approx 1016\) giờ. Do đó con số 360 giờ là sai.
Lời giải
Hàm số biểu diễn doanh thu thu được khi bán \(x\) chiếc điện thoại là:
\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {50.000.000 - 5000x} \right) = - 5000{x^2} + 50.000.000x\).
Đây là một hàm bậc hai có đồ thị hình parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:
\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{50.000.000}}{{2 \cdot \left( { - 5000} \right)}} = 5000\) (chiếc).
Giá trị doanh thu tối đa đạt được là:
\(R\left( {5000} \right) = - 5000 \cdot {\left( {5000} \right)^2} + 50.000.000 \cdot 5000 = 125.000.000.000{\rm{\;VND}}\).
Đổi sang đơn vị tỷ VND, doanh thu tối đa là 125 tỷ VND.
Đáp số: 125.
Câu 3
A. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
B. \(\left( {2; + \infty } \right)\).
C. \(\left( { - 1;1} \right)\).
D. \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a. Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
b. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(y' = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9\).
c. Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hệ số góc là \(k = - 8\).
d. Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\) bằng \( - 5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
a. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) bằng 10.
b. \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to - \infty }} h\left( x \right) = + \infty \).
c. Đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - 2x\) có hai điểm chung phân biệt.
d. Đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(\left( \Delta \right):y = x - 3\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập