Cho hàm số \(y = h\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{x + 1}}\).
a. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) bằng 10.
b. \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to - \infty }} h\left( x \right) = + \infty \).
c. Đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - 2x\) có hai điểm chung phân biệt.
d. Đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(\left( \Delta \right):y = x - 3\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Sai. Đạo hàm: \(h'{\kern 1pt} \left( x \right) = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\);
\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 2 \).
Tọa độ hai điểm cực trị tương ứng là \(A\left( { - 1 + \sqrt 2 ; - 4 + 2\sqrt 2 } \right)\) và \(B\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 4 - 2\sqrt 2 } \right)\).
Khoảng cách \(AB = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {4\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {8 + 32} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \ne 10\).
b) Sai. Ta có \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to - \infty }} h\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to - \infty }} \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to - \infty }} \frac{{{x^2}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{_{x \to - \infty }} \frac{{x\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{1 + \frac{1}{x}}} = - \infty \).
c) Đúng. Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{x + 1}} = - 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = - 2{x^2} - 2x \Leftrightarrow 3{x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
Cả hai nghiệm đều khác \( - 1\), do đó có hai giao điểm phân biệt.
d) Đúng. Ta biến đổi biểu thức: \(h\left( x \right) = \frac{{x\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x + 1} \right) + 2}}{{x + 1}} = x - 3 + \frac{2}{{x + 1}}\).
Do đó đường tiệm cận xiên là \(y = x - 3\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 12x - 15\); \(y' = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + 4x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 5\end{array} \right.\).
Vì hệ số \(a = 1 > 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x = - 5\) và đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
Giá trị cực tiểu của hàm số thu được bằng cách thay \(x = 1\) vào phương trình ban đầu:
\({y_{ct}} = y\left( 1 \right) = {1^3} + 6 \cdot {1^2} - 15 \cdot 1 + 2033 = 1 + 6 - 15 + 2033 = 2025\).
Đáp số: 2025.
Lời giải
Đặt \(BM = x\) (km), điều kiện \(0 \le x \le 10\).
Khi đó độ dài đoạn thẳng trên biển là: \(MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {x^2}} = \sqrt {{x^2} + 16} \) (km).
Độ dài đoạn dây trên đất liền là: \(AM = AB - BM = 10 - x\) (km).
Tổng chi phí lắp đặt (đơn vị: triệu đồng) là: \(T\left( x \right) = 50 \cdot \sqrt {{x^2} + 16} + 30 \cdot \left( {10 - x} \right)\).
Tính đạo hàm của \(T\left( x \right)\): \(T'\left( x \right) = 50 \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} - 30\).
Cho \(T'\left( x \right) = 0\): \(\frac{{50x}}{{\sqrt {{x^2} + 16} }} = 30 \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt {{x^2} + 16} \Leftrightarrow 25{x^2} = 9\left( {{x^2} + 16} \right)\)
\( \Leftrightarrow 16{x^2} = 144 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = 3{\rm{\;(do\;}}x \ge 0{\rm{)}}\).
Lập bảng biến thiên, ta thấy \(T\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 3\).
Vậy khoảng cách \(BM = 3\) km.
Đáp số: 3.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(y = x + 1\).
B. \(y = x + 2\).
C. \(y = x - 2\).
D. \(y = x - 3\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập