Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục tung \(x = 0\).

Kiểm tra phương án A: Hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 1}}{x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\), tiệm cận đứng là \(x = 0\).

Khi \(x \to {0^ + }\), \(y \to + \infty \) và khi \(x \to {0^ - }\), \(y \to - \infty \), điều này hoàn toàn trùng khớp với đồ thị đã cho.

Hơn nữa, đồ thị cắt trục hoành tại các điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\), trùng khớp với nghiệm của tử số \( - {x^2} + 1 = 0\). Chọn A.

Ta thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số:

\({x^2} - 5x + 2025 = x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right) + 2019 = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) + 2019\).

Suy ra: \(y = \frac{{{x^2} - 5x + 2025}}{{x - 2}} = x - 3 + \frac{{2019}}{{x - 2}}\).

Vì \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2019}}{{x - 2}} = 0\), nên đường thẳng \(y = x - 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Chọn D.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có: \(y = x - 2 + \frac{1}{{x - 2}}\).

Đạo hàm: \(y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\);

\(y{\rm{'}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = - 2\\x = 3 \Rightarrow y = 2\end{array} \right.\).

Lập bảng xét dấu \(y'\), ta thấy \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = 1\). Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và giá trị cực đại là \(y = - 2\).

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(M\left( {1; - 2} \right)\). Chọn C.

Quan sát đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\):

Tại \(x = - 2\), ta có \(y = - 5\).

Tại \(x = - 1\), đồ thị đạt điểm cực đại với \(y = - 1\).

Tại \(x = 1\), đồ thị đạt điểm cực tiểu với \(y = - 5\).

Tại \(x = 2\), ta gióng lên thấy đồ thị đi qua điểm có tung độ bằng \( - 1\) (do đường nét đứt biểu thị \(f\left( 2 \right) = f\left( { - 1} \right) = - 1\)).

Do đó, trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\):

Giá trị lớn nhất của hàm số là \(M = - 1\) (đạt được tại \(x = - 1\) và \(x = 2\)).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m = - 5\) (đạt được tại \(x = - 2\) và \(x = 1\)).

Chọn D.

Hàm số bậc bốn trùng phương (đáp án D) và hàm phân thức (đáp án B) không bao giờ đơn điệu trên toàn bộ \(\mathbb{R}\).

Xét đáp án A: $y=-x^3-2x-3\Rightarrow y^{\text{'}}=-3x^2-2$. Vì \( - 3{x^2} - 2 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Xét đáp án C: \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 3 \Rightarrow y' = - 3{x^2} - 6x\), có nghiệm nên đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).

Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Chọn C.

Ta có đạo hàm: \(y' = 4{x^3} - 16x = 4x\left( {{x^2} - 4} \right)\); \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\).

Xét dấu \(y'\):

\(y' > 0\) trên các khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

\(y' < 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\).

Chọn C.

Hàm số số có mẫu thức bằng \(0\) khi \(x = - 1\). Do \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = - \infty \), nên đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn B.