PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. (4 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Để kỷ niệm 70 năm ngày thành lập trường THPT Việt Đức, các cựu học sinh tổ chức phát hành áo kỷ niệm gây quỹ học bổng. Giả sử doanh số (tính bằng số áo bán được) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{7000}}{{1 + 69{e^{ - t}}}}\), \(t \ge 0\), trong đó thời gian \(t\) được tính theo đơn vị ngày, kể từ thời điểm ngày phát hành đầu tiên (ngày 11/8/2025).

Hàm số biểu diễn doanh thu thu được khi bán \(x\) chiếc điện thoại là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {50.000.000 - 5000x} \right) = - 5000{x^2} + 50.000.000x\).

Đây là một hàm bậc hai có đồ thị hình parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{50.000.000}}{{2 \cdot \left( { - 5000} \right)}} = 5000\) (chiếc).

Giá trị doanh thu tối đa đạt được là:

\(R\left( {5000} \right) = - 5000 \cdot {\left( {5000} \right)^2} + 50.000.000 \cdot 5000 = 125.000.000.000{\rm{\;VND}}\).

Đổi sang đơn vị tỷ VND, doanh thu tối đa là 125 tỷ VND.

Đáp số: 125.

Ta có đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {3m + 4} \right) = 3\left( {{x^2} - 2mx + 3m + 4} \right)\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 3m + 4 \ge 0,\forall x > 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4 \ge m\left( {2x - 3} \right),\forall x > 2\).

Vì \(x > 2 \Rightarrow 2x - 3 > 0\), ta cô lập được \(m\): \(m \le \frac{{{x^2} + 4}}{{2x - 3}},\forall x > 2\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{{2x - 3}}\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\):

\(g'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 6x - 8}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\);

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 \in \left( {2; + \infty } \right)\\x = - 1 \notin \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Vẽ bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) cho thấy hàm số giảm từ \(g\left( 2 \right) = 8\) xuống cực tiểu tại \(g\left( 4 \right) = \frac{{16 + 4}}{{8 - 3}} = 4\), sau đó tăng lên \( + \infty \).

Do đó, để \(m \le g\left( x \right)\) với mọi \(x > 2\) thì \(m \le \mathop {{\rm{min}}}\limits_{_{\left( {2; + \infty } \right)}} g\left( x \right) \Leftrightarrow m \le 4\).

Yêu cầu bài toán tìm các giá trị nguyên dương của \(m\), nên \(m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Tổng các giá trị này là: \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\).

Đáp số: 10.