Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Sai. Doanh thu từ việc bán \(x\) tấn sản phẩm là:

\(R\left( x \right) = x \cdot P\left( x \right) = x\left( {45 - 0,001{x^2}} \right) = 45x - 0,001{x^3}\) (triệu đồng).

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm chính là doanh thu \(R\left( {10} \right)\):

\(R\left( {10} \right) = 45 \cdot 10 - 0,001 \cdot {10^3} = 450 - 1 = 449\) (triệu đồng).

Do đó khẳng định 600 triệu đồng là sai.

b) Đúng. Chi phí sản xuất 10 tấn sản phẩm là: \(C\left( {10} \right) = 100 + 30 \cdot 10 = 400\) (triệu đồng).

d) Đúng. Hàm lợi nhuận thu được:

\(H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {45x - 0,001{x^3}} \right) - \left( {100 + 30x} \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) (triệu đồng).

c) Đúng. Tìm giá trị lớn nhất của \(H\left( x \right) = - 0,001{x^3} + 15x - 100\) với \(x \in \left[ {0;100} \right]\).

Ta có \(H'\left( x \right) = - 0,003{x^2} + 15\);

\(H'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5000 \Leftrightarrow x = \sqrt {5000} = 50\sqrt 2 \approx 70,71\) (tấn).

Vì \(H'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x = 50\sqrt 2 \) nên hàm số đạt cực đại (và cũng là giá trị lớn nhất trên đoạn) tại \(x \approx 70,7\) tấn.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Tính đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 2x - 4 - {x^2} + 4x - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x - 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Hai điểm cực trị \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình tử số: \({x^2} + 2x - 5 = 0\).

Vì \(\Delta ' = {1^2} - \left( { - 5} \right) = 6 > 0\) và các nghiệm đều khác \( - 1\) (do \({\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 5 = - 6 \ne 0\)), phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo định lý Vi-ét, tổng hai nghiệm là: \({x_1} + {x_2} = - \frac{2}{1} = - 2\).

Đáp số: −2.