Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 5\) có điểm cực tiểu là \(A\). Tính độ dài đoạn thẳng \(OA\) với \(O\) là gốc tọa độ.

Tổng chi phí bao gồm chi phí xuất bản và chi phí phát hành cho \(x\) cuốn tạp chí:

\(T\left( x \right) = C\left( x \right) + 2x = 0,002{x^2} - 3x + 55000 + 2x = 0,002{x^2} - x + 55000\).

Chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí là hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{T\left( x \right)}}{x}\):

\(f\left( x \right) = \frac{{0,002{x^2} - x + 55000}}{x} = 0,002x - 1 + \frac{{55000}}{x}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) cho hai số dương \(0,002x\) và \(\frac{{55000}}{x}\) (với \(x > 0\)):

\(0,002x + \frac{{55000}}{x} \ge 2\sqrt {0,002x \cdot \frac{{55000}}{x}} = 2\sqrt {110} \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của chi phí trung bình là: \(f\left( x \right) \ge 2\sqrt {110} - 1 \approx 19,976\) nghìn đồng.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \(20\).

Đáp số: 20.

Xác định hệ tọa độ: Giả sử chiều dài \(10{\rm{\;m}}\) nằm dọc theo trục \(Oy\) (bức tường dài \(10{\rm{\;m}}\)), chiều rộng \(7{\rm{\;m}}\) dọc theo trục \(Ox\) (bức tường có kích thước \(7 \times 3,3\) chính là bức tường nằm trong mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)).

Vị trí tâm trần nhà có tọa độ hình chiếu xuống sàn là trung điểm của chiều dài và chiều rộng: \(x = \frac{7}{2} = 3,5\) và \(y = \frac{{10}}{2} = 5\).

Độ cao của trần nhà là \(3,3{\rm{\;m}}\). Thanh treo quạt dài \(0,8{\rm{\;m}}\) hướng thẳng đứng xuống dưới, nên độ cao (cao độ \(z\)) của động cơ quạt điểm \(I\) là: \(z = 3,3 - 0,8 = 2,5{\rm{\;m}}\).

Vậy tọa độ động cơ quạt là \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\).

Ý c) ĐÚNG. Tọa độ của \(I\) có \(a = 3,5;b = 5;c = 2,5\).

Ý d) ĐÚNG. Khoảng cách từ điểm \(I\) đến sàn nhà (mặt phẳng \(Oxy\)) chính là cao độ \({z_I} = 2,5{\rm{\;m}}\).

Ý a) ĐÚNG. Bức tường trang trí tranh có kích thước \(7 \times 3,3\), tức là bức tường nằm ở mặt phẳng ứng với vị trí giới hạn chiều dài của phòng (mặt phẳng \(y = 0\) hoặc \(y = 10\)). Khoảng cách từ tâm quạt \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\) đến bức tường này chính là khoảng cách đến mặt phẳng song song với \(\left( {Oxz} \right)\), bằng \(5{\rm{\;m}}\).  

Ý b) ĐÚNG. Tính khoảng cách từ thiết bị \(A\left( {0;2;1} \right)\) đến động cơ quạt \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\):

\(AI = \sqrt {{{\left( {3,5 - 0} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{3,5}^2} + {3^2} + {{1,5}^2}} = \sqrt {12,25 + 9 + 2,25} = \sqrt {23,5} \approx 4,85{\rm{\;m}}\).

Vì \(4,85{\rm{\;m}} < 5,5{\rm{\;m}}\) nên phát biểu này đúng.